¿Cómo se calcula el área entre dos curvas con integrales?

Sigue cuatro pasos: (1) Halla los puntos de corte resolviendo f(x) = g(x) — sus abscisas son los límites a, b. (2) Determina qué curva queda por encima en el intervalo [a,b] (con un valor de prueba o por el esbozo). (3) Calcula A = \int_a^b (\text{arriba} - \text{abajo})\,dx. (4) Si las curvas se cruzan dentro de [a,b], separa la integral por el corte y suma los valores absolutos de cada tramo.

¿Por qué hay que poner valor absoluto en el cálculo de áreas?

Porque la integral definida \int_a^b f(x)\,dx asigna **signo** al área: positivo donde la función es positiva y negativo donde es negativa. Si solo nos interesa el área geométrica (siempre positiva), hay que tomar valor absoluto de cada tramo donde la función mantiene signo constante: A = \int_a^b |f(x)|\,dx. En la práctica esto se hace partiendo el intervalo por los cortes y sumando los valores absolutos de cada Barrow.

¿Qué hago si la función cambia de signo dentro del intervalo de integración?

Separa la integral en tramos por cada raíz c donde f cruza el eje. Por ejemplo, si f(x) \geq 0 en [a,c] y f(x) \leq 0 en [c,b], el área es A = \int_a^c f(x)\,dx + \left|\int_c^b f(x)\,dx\right|. Indica explícitamente el signo en cada tramo — el corrector valora esta justificación con hasta 0,25 puntos extra.

¿Cómo encuentro los límites de integración cuando no me los dan?

Los límites son las **abscisas** (x) de los puntos que delimitan la región. Si la región está entre una curva y el eje OX, resuelve f(x) = 0. Si está entre dos curvas, resuelve f(x) = g(x). Si está acotada por rectas verticales x = a, x = b, esos son directamente los límites. En problemas tipo "área encerrada por las curvas f y g" se toman los dos puntos de corte consecutivos — los demás cortes (si hay) no delimitan esa región concreta.

Temario›Matemáticas II›Integrales y cálculo de áreas›Cálculo de áreas con integrales definidas

Cálculo de áreas con integrales definidas

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son cálculo de áreas con integrales definidas en selectividad PAU?

El cálculo de áreas con integrales definidas es la aplicación geométrica clásica de la integral en la PAU de Matemáticas II. Aparece en TODAS las comunidades como pregunta de 2,5 puntos sobre 10 y reúne 130 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy. La pregunta típica pide hallar el área de una región plana limitada por una curva y el eje OX, por dos curvas, o por una curva y rectas verticales.

La fórmula base es

A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx

, donde el valor absoluto refleja que el área es siempre positiva. La dificultad real no está en aplicar la fórmula sino en determinar los límites

a, b

(puntos de corte, intersecciones entre curvas) y en identificar el signo de

f - g

en cada subintervalo. Por eso el primer paso obligatorio es siempre un esbozo gráfico de la región.

El corrector valora especialmente: (1) el esbozo con los cortes señalados, (2) la justificación del signo en cada tramo, (3) la separación de la integral por los puntos donde la función cambia de signo, y (4) la verificación de que el resultado final es positivo. Olvidar el valor absoluto o no partir por signo cuando la función cambia es el error que más penaliza en este subtema.

Fórmulas de cálculo de áreas con integrales definidas en PAU 📋

Área entre curva y eje OX

A = \int_a^b |f(x)|\,dx

Cuando solo hay una curva

y = f(x)

y los límites son cortes con el eje X (raíces de

f

) o rectas verticales dadas. Si

f \geq 0

[a,b]

, el valor absoluto sobra.

Área entre dos curvas

A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx

Cuando la región está limitada por dos curvas

y = f(x)

y = g(x)

. Los límites

a, b

son las abscisas de los puntos de corte (resolver

f(x) = g(x)

Regla de Barrow

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad \text{con } F'(x) = f(x)

Para evaluar la integral una vez calculada la primitiva

F

. OJO: si

f

cambia de signo en

[a,b]

, este número NO es el área.

Área con función a trozos por signo

A = \int_a^c f(x)\,dx - \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{si } f \geq 0 \text{ en } [a,c] \text{ y } f \leq 0 \text{ en } [c,b]

Cuando

f

corta el eje X en

c \in (a,b)

. Separa en dos integrales y suma los valores absolutos. Equivale a

\int_a^b |f(x)|\,dx

Propiedad: integral de constante

\int_a^b k\,dx = k(b-a)

Útil para comprobar resultados o para áreas de rectángulos delimitados por una recta horizontal.

Cómo resolver cálculo de áreas con integrales definidas paso a paso 📐

1
Dibuja un esbozo de la región
Sin esbozo no se puede resolver bien. Marca los puntos de corte con los ejes y con las otras curvas, identifica qué función está por encima en cada tramo y señala la región sombreada. El esbozo orienta toda la resolución.
2
Calcula los puntos de corte (límites de integración)
Si el área es bajo una curva, resuelve $f(x) = 0$ para hallar los cortes con OX. Si el área es entre dos curvas, resuelve $f(x) = g(x)$ . Los límites $a, b$ son las abscisas (no las ordenadas) de esos cortes.
3
Identifica el signo en cada subintervalo
Si $f$ (o $f - g$ ) cambia de signo dentro de $[a,b]$ , separa la integral por esos cortes. Indica explícitamente "en $[a,c]$ es positiva, en $[c,b]$ es negativa". El corrector espera esta justificación.
4
Calcula la primitiva $F(x)$
Aplica el método adecuado (inmediata, cambio, partes, fracciones). La primitiva debe ser correcta — un error aquí arrastra todo el cálculo. No olvides simplificar antes de evaluar.
5
Aplica Barrow en cada tramo y suma valores absolutos
En cada subintervalo, calcula $F(b) - F(a)$ y toma su valor absoluto. Suma los valores absolutos de todos los tramos para obtener el área total. El resultado final debe ser positivo.
6
Indica unidades y verifica el resultado
Escribe el área con unidades cuadradas (u² si el problema no especifica). Comprueba que es positiva y que el orden de magnitud es coherente con el esbozo. Si te sale negativa, hay error de signo en algún tramo.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para cálculo de áreas con integrales definidas? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Dibuja siempre un esbozo antes de integrar — vale 0,5 puntos en muchas CCAAs (Andalucía, Madrid, Castilla y León). Sin esbozo, aunque el número sea correcto, hay corrector que solo da el 50%.
✓
Cuando integres entre dos curvas, identifica visualmente quién está arriba: $A = \int (\text{arriba} - \text{abajo})\,dx$ . Te ahorra el valor absoluto si has identificado bien el orden.
✓
Si la región tiene simetría respecto a OY (función par) o respecto al origen, calcula el área de una mitad y multiplica por 2. Ahorra tiempo y reduce errores.
✓
Cuando $f(x) = g(x)$ da una ecuación cúbica/cuártica, prueba primero factorizar por raíces evidentes (0, 1, $-1$ ): casi siempre hay una raíz simple en PAU que simplifica.
✓
Si el problema dice "el área encerrada entre $f$ y $g$ ", los límites son los dos puntos de corte consecutivos que delimitan la región — NO el dominio entero. No integres más allá.

Errores frecuentes al resolver cálculo de áreas con integrales definidas que penalizan el corrector ⚠

×
Calcular $\int_a^b f(x)\,dx$ y entregar ese número como área cuando $f$ cambia de signo (las áreas positivas y negativas se cancelan — el número resultante NO es el área).
×
No separar la integral cuando $f$ corta el eje dentro de $[a,b]$ : penaliza hasta el 50% del apartado en Andalucía, Madrid y Galicia.
×
Confundir abscisa y ordenada al tomar los límites: si los cortes son $(1, 3)$ y $(4, 5)$ , los límites son $a = 1, b = 4$ (las $x$ ), no las $y$ .
×
Olvidar el esbozo: muchos correctores asignan puntuación explícita al gráfico — sin esbozo se pierden 0,25–0,5 puntos aunque el número final sea correcto.
×
Entregar un área negativa: imposible geométricamente. Si te sale negativa, revisa el signo en cada tramo o el orden $f - g$ vs. $g - f$ .

Preguntas frecuentes sobre cálculo de áreas con integrales definidas en PAU 💬

¿Cómo se calcula el área entre dos curvas con integrales?: Sigue cuatro pasos: (1) Halla los puntos de corte resolviendo $f(x) = g(x)$ — sus abscisas son los límites $a, b$ . (2) Determina qué curva queda por encima en el intervalo $[a,b]$ (con un valor de prueba o por el esbozo). (3) Calcula $A = \int_a^b (\text{arriba} - \text{abajo})\,dx$ . (4) Si las curvas se cruzan dentro de $[a,b]$ , separa la integral por el corte y suma los valores absolutos de cada tramo.
¿Por qué hay que poner valor absoluto en el cálculo de áreas?: Porque la integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ asigna signo al área: positivo donde la función es positiva y negativo donde es negativa. Si solo nos interesa el área geométrica (siempre positiva), hay que tomar valor absoluto de cada tramo donde la función mantiene signo constante: $A = \int_a^b |f(x)|\,dx$ . En la práctica esto se hace partiendo el intervalo por los cortes y sumando los valores absolutos de cada Barrow.
¿Qué hago si la función cambia de signo dentro del intervalo de integración?: Separa la integral en tramos por cada raíz $c$ donde $f$ cruza el eje. Por ejemplo, si $f(x) \geq 0$ en $[a,c]$ y $f(x) \leq 0$ en $[c,b]$ , el área es $A = \int_a^c f(x)\,dx + \left|\int_c^b f(x)\,dx\right|$ . Indica explícitamente el signo en cada tramo — el corrector valora esta justificación con hasta 0,25 puntos extra.
¿Cómo encuentro los límites de integración cuando no me los dan?: Los límites son las abscisas ( $x$ ) de los puntos que delimitan la región. Si la región está entre una curva y el eje OX, resuelve $f(x) = 0$ . Si está entre dos curvas, resuelve $f(x) = g(x)$ . Si está acotada por rectas verticales $x = a, x = b$ , esos son directamente los límites. En problemas tipo "área encerrada por las curvas $f$ y $g$ " se toman los dos puntos de corte consecutivos — los demás cortes (si hay) no delimitan esa región concreta.