¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por el método de Gauss?

Se forma la **matriz ampliada** (A|B) con los coeficientes y los términos independientes. Mediante **operaciones elementales por filas** (intercambio de filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) se transforma la matriz en **forma escalonada** (con ceros bajo la diagonal principal). Una vez escalonada, se hace **sustitución hacia atrás**: se despeja la última incógnita desde la última fila y se sustituye hacia arriba en las anteriores. Si aparece una fila (0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ 0) el sistema es compatible indeterminado; si aparece (0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ k) con k \neq 0 es incompatible.

¿Cuándo se puede aplicar la regla de Cramer?

La regla de Cramer se aplica únicamente cuando el sistema es **cuadrado** (mismo número de ecuaciones que de incógnitas) y la matriz de coeficientes A es **invertible**, es decir, \det(A) \neq 0. En ese caso el sistema es **Sistema Compatible Determinado** (solución única) y cada incógnita se calcula como x_i = \det(A_i) / \det(A), donde A_i se obtiene de A sustituyendo su columna i por el vector de términos independientes B. Si \det(A) = 0 o el sistema no es cuadrado, hay que cambiar al método de Gauss.

¿Qué hago si al resolver por Gauss me sale una fila de ceros?

Depende de qué hay en la parte ampliada de esa fila. Si la fila completa es (0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ 0), significa que una de las ecuaciones era **redundante** (combinación lineal de las otras): el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** y tiene infinitas soluciones parametrizadas con n - \text{rg}(A) parámetros libres. Si en cambio la fila es (0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ k) con k \neq 0, la ecuación equivale a 0 = k, una contradicción: el sistema es **Incompatible (SI)** y no tiene solución.

¿Cómo se parametriza la solución de un sistema compatible indeterminado?

En un SCI hay n - \text{rg}(A) incógnitas libres (grados de libertad). Se les asignan parámetros t, s, \ldots \in \mathbb{R} y se despejan las demás incógnitas en función de ellos a partir de la matriz escalonada. Por ejemplo, si en un sistema 3 \times 3 el rango es 2, hay 1 parámetro libre: tomas z = t y expresas x, y como funciones de t. La solución es la **familia infinita** \{(x(t), y(t), t) : t \in \mathbb{R}\}. Geométricamente representa una recta en \mathbb{R}^3.

Temario›Matemáticas II›Sistemas de ecuaciones lineales›Resolución de sistemas (Gauss, Cramer)

Resolución de sistemas (Gauss, Cramer)

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son resolución de sistemas (Gauss, Cramer) en selectividad PAU?

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en hallar los valores de las incógnitas

x_1, x_2, \ldots, x_n

que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. En la PAU de Matemáticas II aparece en TODAS las comunidades autónomas, normalmente como segunda parte de la pregunta del bloque de álgebra: tras discutir el sistema con parámetro, se pide resolverlo en uno o varios casos concretos.

Cualquier sistema lineal se escribe en forma matricial

AX = B

, donde

A

es la matriz de coeficientes,

X

el vector columna de incógnitas y

B

los términos independientes. Los dos métodos sistemáticos que entran en PAU son el método de Gauss (eliminación por filas en la matriz ampliada

(A|B)

hasta llegar a forma escalonada) y la regla de Cramer (cocientes de determinantes, aplicable solo cuando el sistema es cuadrado y

\det(A) \neq 0

).

Gauss es el método preferible para sistemas

3 \times 3

generales y obligatorio cuando

\det(A) = 0

o el sistema no es cuadrado. Cramer es más rápido cuando los determinantes son sencillos o cuando solo se pide una incógnita concreta. El corrector valora especialmente la justificación del método elegido y la presentación ordenada de las operaciones elementales por filas en Gauss.

Fórmulas de resolución de sistemas (Gauss, Cramer) en PAU 📋

Forma matricial del sistema

AX = B \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

Punto de partida obligatorio. Identifica

A

X

B

antes de aplicar cualquier método. La matriz ampliada

(A|B)

es la herramienta de Gauss.

Regla de Cramer

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \quad i = 1, \ldots, n

Sistema cuadrado (

n

ecuaciones,

n

incógnitas) con

\det(A) \neq 0

A_i

A

sustituyendo la columna

i

por el vector

B

. Útil si los determinantes son fáciles.

Método de Gauss — operaciones elementales por filas

F_i \leftrightarrow F_j, \quad F_i \to k \cdot F_i \ (k \neq 0), \quad F_i \to F_i + k \cdot F_j

Tres operaciones permitidas que NO cambian el conjunto de soluciones: intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra. Base de toda la eliminación gaussiana.

Solución matricial cuando

A

es invertible

X = A^{-1} \cdot B

Sistema cuadrado con

\det(A) \neq 0

. Conviene calcular

A^{-1}

solo si ya la tienes o si vas a resolver el sistema para varios

B

distintos. Si solo es un

B

, Cramer suele ser más rápido.

Parametrización de SCI

x_{\text{libre}} = t \in \mathbb{R}, \quad x_{\text{ligada}} = f(t)

Cuando hay

n - \text{rg}(A)

incógnitas libres, asígnales parámetros

t, s, \ldots \in \mathbb{R}

y despeja las demás en función de ellos. Resultado: familia infinita de soluciones.

Cómo resolver resolución de sistemas (Gauss, Cramer) paso a paso 📐

1
Escribe el sistema en forma matricial $AX = B$
Identifica la matriz de coeficientes $A$ , el vector de incógnitas $X$ y el de términos independientes $B$ . Forma la matriz ampliada $(A|B)$ — es la herramienta base tanto de Gauss como del cálculo de rangos.
2
Decide el método: Gauss o Cramer
Si el sistema es cuadrado y $\det(A) \neq 0$ es sencillo de calcular, Cramer suele ser más rápido. Si el sistema no es cuadrado, si $\det(A) = 0$ , o si los coeficientes son complicados, usa Gauss. En PAU se acepta cualquiera de los dos siempre que sea aplicable.
3
Método de Gauss: escalona la matriz ampliada
Aplica operaciones elementales por filas en $(A|B)$ para conseguir ceros bajo la diagonal principal. Indica cada operación: " $F_2 \to F_2 - 2F_1$ ", " $F_3 \to F_3 + F_1$ ", etc. Al final la matriz queda escalonada y se lee el sistema equivalente.
4
Método de Gauss: sustitución hacia atrás
Una vez escalonada $(A|B)$ , despeja la última incógnita de la última fila, luego sustituye hacia arriba para hallar las demás. Si una fila queda $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ 0)$ el sistema es SCI; si queda $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ k)$ con $k \neq 0$ es SI.
5
Método de Cramer: calcula los $n+1$ determinantes
Calcula $\det(A)$ y los $\det(A_i)$ para $i = 1, \ldots, n$ , donde $A_i$ es $A$ con la columna $i$ sustituida por $B$ . Aplica $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ para cada incógnita. Indica claramente qué columna se sustituye en cada paso.
6
Verifica sustituyendo en el sistema original
Reemplaza la solución obtenida en las ecuaciones originales para comprobar que se cumplen TODAS. Esta verificación detecta errores de signo o aritméticos y el corrector la valora con hasta 0,25 puntos extra en algunas comunidades.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para resolución de sistemas (Gauss, Cramer)? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de elegir método, mira si el sistema es triangular o casi-triangular: si la matriz de coeficientes ya tiene ceros bajo la diagonal, la sustitución hacia atrás es inmediata y ahorra calcular determinantes.
✓
En Cramer, si solo te piden una incógnita concreta (por ejemplo $z$ ), calcula solo $\det(A)$ y $\det(A_z)$ — no hace falta hallar las otras. Ahorra ~5 minutos en examen.
✓
En Gauss, elige como pivote el coeficiente más sencillo (idealmente un 1) intercambiando filas si hace falta. Reduce drásticamente los errores aritméticos con fracciones.
✓
Si un sistema es homogéneo ( $AX = 0$ ), siempre admite la solución trivial $X = 0$ . Solo tiene soluciones no triviales si $\det(A) = 0$ — útil cuando hay parámetro.
✓
Cuando uses Gauss y aparezca una fila de ceros, NO la elimines del recuento: la matriz ampliada conserva su número de filas, pero el rango baja. Es la pista para detectar SCI o SI.

Errores frecuentes al resolver resolución de sistemas (Gauss, Cramer) que penalizan el corrector ⚠

×
Aplicar Cramer sin comprobar que $\det(A) \neq 0$ : si el determinante es cero, la fórmula no aplica y hay que cambiar a Gauss.
×
En Gauss, multiplicar dos filas o sumar filas con signo equivocado: cualquier error aritmético en la eliminación arrastra todo el resultado.
×
Confundir SCI con SCD cuando aparece una fila de ceros: una fila $(0\ 0\ 0\ |\ 0)$ significa una ecuación redundante (SCI), no un sistema determinado.
×
En SCI, olvidar parametrizar las soluciones con $t \in \mathbb{R}$ y entregar solo una solución particular: el corrector exige la familia completa de soluciones.
×
No verificar la solución sustituyendo en el sistema original — un error en un signo invalida la respuesta y se pierden todos los puntos del apartado.

Preguntas frecuentes sobre resolución de sistemas (Gauss, Cramer) en PAU 💬

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por el método de Gauss?: Se forma la matriz ampliada $(A|B)$ con los coeficientes y los términos independientes. Mediante operaciones elementales por filas (intercambio de filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) se transforma la matriz en forma escalonada (con ceros bajo la diagonal principal). Una vez escalonada, se hace sustitución hacia atrás: se despeja la última incógnita desde la última fila y se sustituye hacia arriba en las anteriores. Si aparece una fila $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ 0)$ el sistema es compatible indeterminado; si aparece $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ k)$ con $k \neq 0$ es incompatible.
¿Cuándo se puede aplicar la regla de Cramer?: La regla de Cramer se aplica únicamente cuando el sistema es cuadrado (mismo número de ecuaciones que de incógnitas) y la matriz de coeficientes $A$ es invertible, es decir, $\det(A) \neq 0$ . En ese caso el sistema es Sistema Compatible Determinado (solución única) y cada incógnita se calcula como $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ , donde $A_i$ se obtiene de $A$ sustituyendo su columna $i$ por el vector de términos independientes $B$ . Si $\det(A) = 0$ o el sistema no es cuadrado, hay que cambiar al método de Gauss.
¿Qué hago si al resolver por Gauss me sale una fila de ceros?: Depende de qué hay en la parte ampliada de esa fila. Si la fila completa es $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ 0)$ , significa que una de las ecuaciones era redundante (combinación lineal de las otras): el sistema es Compatible Indeterminado (SCI) y tiene infinitas soluciones parametrizadas con $n - \text{rg}(A)$ parámetros libres. Si en cambio la fila es $(0\ 0\ \cdots\ 0\ |\ k)$ con $k \neq 0$ , la ecuación equivale a $0 = k$ , una contradicción: el sistema es Incompatible (SI) y no tiene solución.
¿Cómo se parametriza la solución de un sistema compatible indeterminado?: En un SCI hay $n - \text{rg}(A)$ incógnitas libres (grados de libertad). Se les asignan parámetros $t, s, \ldots \in \mathbb{R}$ y se despejan las demás incógnitas en función de ellos a partir de la matriz escalonada. Por ejemplo, si en un sistema $3 \times 3$ el rango es 2, hay 1 parámetro libre: tomas $z = t$ y expresas $x, y$ como funciones de $t$ . La solución es la familia infinita $\{(x(t), y(t), t) : t \in \mathbb{R}\}$ . Geométricamente representa una recta en $\mathbb{R}^3$ .