La velocidad de una corredora de montaña rusa, medida en km/h, durante los 20 primeros segundos del recorrido se puede aproximar por la siguiente función:
v(t) = (t⁴ − 34t³ + 420t² − 2240t + 4800) / (t² − 4t + 220)
donde t representa el tiempo en segundos desde la salida.
a) ¿En qué intervalos de tiempo la velocidad aumenta y en cuáles decrece? (1 punto)
b) Tras el segundo 7 y antes del segundo 20, la velocidad es inferior a 5 km/h en algún momento. ¿Supera los 70 km/h en algún momento? En caso afirmativo, indica cuándo. (1 punto)
c) Explica cuál de las siguientes figuras se corresponde con la gráfica de la función f. (0,5 puntos)

Dada la función f(x) = −(1/4)x⁴ − 8x − 30.
a) Encuentra la primitiva F de f para la que se verifique que F(2) = 2. (1 punto)
b) La función f determina, entre x = −10 y x = 18 m, el recorrido de una montaña rusa. Se quiere pintar de color gris la superficie bajo el recorrido en ese intervalo. Cada bote contiene pintura para 15 m² de superficie. ¿Cuántos botes serán necesarios para pintar toda esa superficie? (1,5 puntos)

En una caseta de feria se propone un reto, a partir de las siguientes figuras (cuadrados con puntos de colores en cuadrículas 4×4).
a) El reto consiste en: i) contar cuántas figuras puntos en total (negros y blancos) habrá en la figura número 17 y adivinar, ii) si todas serán puntos negros y cuántos blancos. Para quienes han logrado la primera parte, se les pide algo más complicado: ¿crees que podrías encontrar una fórmula que relacione el número de figuras con el número de puntos negros para una figura cualquiera? Explica cómo has llegado a ella. (2 puntos)
b) En la caseta, hay dibujada una distribución al azar, y ofrece algunas recomendaciones que no dan algo que sí lo sea, ¿cuál es la razón? ¿Qué argumentos podrías utilizar para convencerlos? (0,5 puntos)

En un parque de atracciones quieren 2 horas para el último viaje. Una persona quiere montar tantos veces como sea en dos atracciones: dragón rojo y gran loop. Cada viaje en el dragón rojo costará 5 euros y en el gran loop 3 euros. Cada viaje en el dragón rojo dura unos 8 minutos. Quiere hacer al menos 1 viaje en el gran loop y que el número de viajes en el dragón rojo más x y el número de viajes en el gran loop es y.
a) Si se sube al viajes en el dragón rojo y viajes en el gran loop, ¿cuántos viajes puede hacer en el gran loop?, ¿cuánto durará 6 veces la subida? (1 punto)
b) Siendo x el número de viajes en el dragón rojo y y el número de viajes en el gran loop, a partir de la imagen, indica cuál es la región factible para el problema que consiste en conocer cuánto dinero puede ahorrar manteniendo cada atracción. Señala los vértices (a, b, c, d, e, f) y justifica tu respuesta. (1 punto)
c) Si los viajes en el dragón rojo cuestan 5 euros y en el gran loop 3 euros, ¿cuánto dinero puede llegar a gastar, como máximo?, ¿Y cuánto puede gastar, como mínimo? (0,5 puntos)

En una de las atracciones hay tres tipos de pases: el pase VIP y el normal, sus precios son, respectivamente, v, p. Un grupo de personas pagó, en total, 90 €. Cuando compró un pase VIP y tres pases normales, mientras que otro grupo de personas pagó 15 € por comprar dos pases VIP y tres pases normales. Para determinar el precio de cada uno, se utiliza el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 3y = 90
2x + my = 15m
a) Si m = 15, ¿cuál es el precio de cada tipo de pase? (1 punto)
b) Proporciona un valor de m para el cual el sistema tenga solución, pero esa solución carezca de sentido en el contexto del problema. Justifica tu respuesta. (0,5 puntos)
c) Para qué valor de m el sistema no tiene solución? Justifica tu respuesta. (1 punto)

Dadas las matrices:
A = ((1, 2, -1), (0, 1, 1), (a, b, c)), B = ((1), (2), (3)), D = ((1, 0, a), (2, 1, b), (-1, 1, c))
Siendo A · B = D · E, plantea un sistema de las ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y), la función de los parámetros a, b, c. (1,5 puntos)
b) Encontrar un valor de a, b, c para el cual el sistema tenga infinitas soluciones. (1 punto)

En la tómbola de un parque de atracciones se puede entrar, para un euro, 40 son azules y 500 verdes. De los sobres rojos solo dos llevan el premio del peluche gigante. Los azules tienen un regalo siguiendo una proporción de 1:2 (12 tienen regalo gigante, 22 tienen regalo), y cada tipo tiene otro tipo de premios. Entre los sobres verdes, los contiene peluche gigante, 22 tienen regalo siguiendo y el resto otros premios.
a) ¿Es más probable conseguir un peluche gigante si se elige un sobre verde o un rojo? Si se abre un sobre al azar, ¿cuál es la probabilidad de ganar un peluche gigante? (1,5 puntos)
b) Si al elegir un sobre, sin poder ver el color, el premio no fue el peluche gigante y tampoco tenía regalo, ¿cuál es la probabilidad de que el sobre fuese de color rojo? (1 punto)

El 80% de las personas que trabajan en un parque de atracciones son menores de 30 años. De ellas, el 60% coinciden en el turno. De las 200 personas que trabajan en el parque, hay 120 personas que comparten el trabajo con los estudios.
a) ¿Cuántas personas de las que trabajan en el parque tienen menos de 30 años y no estudian? (1 punto)
b) Si se elige una persona al azar de entre las que compaginan trabajo y estudios, ¿cuál probabilidad hay de que tenga menos de 30 años? (0,5 puntos)
c) Si, independientemente, el personal de la empresa, estudiar y ser menor de 30 años? ¿Por qué? (1 punto)

El gasto por visitante en una atracción se puede asumir que sigue una distribución normal con media μ y desviación típica σ.
a) ¿Cuál es el tamaño de muestra n mínimo para estimar el gasto medio por visitante en esta atracción mediante un intervalo de confianza al nivel del 90% con un error de estimación inferior a 2 €? σ = 3.
¿A qué nivel de confianza se podría obtener un intervalo con esa misma media, ¿habría que aumentar o reducir el tamaño muestral mínimo obtenido? (1 punto)
b) Para una muestra de n visitantes se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza al 95% de confianza del recinto para el gasto medio por visitante: (11,997; 13,003). ¿Cuál fue el gasto medio por visitante en esa muestra? ¿Cuál es el tamaño muestral n correcto? ¿Cuál es el error de estimación en este caso? (0,5 puntos)
c) El responsable del apartado anterior analiza los resultados y determina las tres situaciones posibles y justifica tu elección:
i) Intervalo con la misma media muestral y nivel de confianza, pero con un tamaño de muestra de mayor tamaño.
ii) Intervalo con el nivel de confianza obtenido a partir de una muestra con el mismo tamaño pero con una media muestral diferente.
(1 punto)

Para estimar el porcentaje de visitantes que vuelve alguna vez a un parque de atracciones se toman las muestras del mismo tamaño. En la primera muestra se obtiene una proporción de visitantes que compran la entrada de 0,7 y a partir de ella, se construyen dos intervalos de confianza: el primero al 90% y el segundo al 95%. En la segunda muestra se obtiene un intervalo al 95% de confianza.
Algunos valores de la función F de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1:
F(z) = P(Z ≤ z)
F(0,5) = 0,6915; F(1) = 0,8413; F(1,28) = 0,8997; F(1,645) = 0,9500; F(1,96) = 0,9750; F(2,33) = 0,9901; F(2,575) = 0,9950
a) Datos: (0,6102; 0,7898), (0,5586; 0,7540) y (0,6284; 0,7752). Los tres intervalos desordenados y no coinciden por orden. Valores de error (0,0102; 0,7898), (0,5586; 0,7540), (0,6284; 0,7752). ¿Cuál es el tamaño muestral? (1,5 puntos)
b) Respecto a la segunda muestra, teniendo en cuenta el intervalo obtenido, ¿cuál fue el tamaño muestral necesario si el número de visitantes en esa muestra que vuelven a comprar entrada la segunda vez es de 15 personas? (1 punto)