SECCION 1 (3 puntos) -- BLOQUE 1
Ejercicio 1. Una empresa de productos de papeleria dispone de 270 m^2 de carton y de 432 m de cinta de goma para la fabricacion de dos tipos de carpetas: tamano folio y tamano cuartilla. Para una del primer tipo se necesitan 0,20 m^2 de carton y 0,30 m de cinta de goma y se vende a 2,10 euros la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 m^2 de carton y 0,27 m de cinta de goma y se vende a 1,50 euros la unidad.
a) Expresa la funcion objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa graficamente el recinto definido. (1.25 puntos)
b) Determina cuantas carpetas de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea maximo. (0.25 puntos)
Ejercicio 2. En la fase nacional de la Olimpiada de Matematicas Espanola se reparten un total de 36 medallas, divididas en oro, plata y bronce. El numero de medallas de bronce triplica a las medallas de oro y sabemos que, si dos de las medallas de plata se pasaran a la categoria de bronce, entonces la cantidad de medallas de bronce duplicaria la cantidad de medallas de plata.
a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular que cantidad de medallas de cada tipo se reparten. (0.75 puntos)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)

SECCION 1 (3 puntos) -- BLOQUE 2
Ejercicio 1. La evolucion de la rentabilidad de un fondo de inversion a lo largo del tiempo, $x$ en anos, viene definida por la funcion
$$R(x)=\begin{cases}-(x+(t-3))^2+(t+27) & \text{si }0\le x\le 3\\ -\dfrac{1}{3}x^3-tx^2+5x-3 & \text{si }x>3\end{cases}$$
a) Para que valores de $t$ la rentabilidad del fondo, $R(x)$, es una funcion continua en $x=3$? (0.5 puntos)
b) Para $t=-2$, cuando se tiene la mayor rentabilidad en el fondo a partir del tercer ano? (0.5 puntos)
c) Para $t=-2$, determina en que intervalos de tiempo la rentabilidad del fondo crece y en cuales decrece a partir del tercer ano. (0.5 puntos)
Ejercicio 2. Dada la funcion $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx$, encuentra el valor de los parametros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la funcion tiene un extremo relativo en el punto $(-1,0)$ y la ecuacion de la recta tangente a la funcion en $x=0$ es $y=x$. (1.5 puntos)

SECCION 2 (3.5 puntos) -- BLOQUE 1
Ejercicio 3. Una empresa de consultoria tiene dos sedes, una en Toledo y otra en Cuenca. La sede de Toledo esta formada por 6 analistas y 6 desarrolladores, mientras que la de Cuenca la forman 4 analistas y 6 desarrolladores. Ademas, se sabe que el 30 % de los analistas y el 50 % de los desarrolladores de la empresa usan MacBooks en su trabajo diario.
a) Elegido un trabajador al azar, cual es la probabilidad de que no use MacBook? (0.75 puntos)
b) Si se sabe que un trabajador usa MacBook, cual es la probabilidad de que sea desarrollador? (0.75 puntos)
Ejercicio 4. Un fabricante de microprocesadores ha tomado una muestra aleatoria de 144 chips y ha medido el tiempo de ejecucion de una operacion, proporcionando una media de 142 milisegundos. Si se sabe que el tiempo de ejecucion de los chips sigue una distribucion normal de media desconocida y desviacion tipica $\sigma=42$ milisegundos:
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de ejecucion de los chips con un nivel de confianza del 94,64 %. (1 punto)
b) Calcula el tamano minimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del 94,12 %, el error maximo admisible sea menor que 8 milisegundos. (1 punto)
[Se adjunta tabla de la distribucion normal estandar en el PDF original]

SECCION 2 (3.5 puntos) -- BLOQUE 2
Ejercicio 3. En una clase se celebran elecciones para delegada y se presentan dos candidatas, Ines y Nerea. Se sabe que cuatro veces el numero de votos obtenido por Nerea menos tres veces el numero de votos obtenidos por Ines excede al numero de votos nulos en un voto. Si dividimos el numero de votos obtenidos por Ines entre el numero de los obtenidos por Nerea se obtiene de cociente 1 y de resto 7 (Algoritmo de la division: D = d*c + r). El 5 % del total de votos emitidos es nulo.
a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular el numero de votos nulos y los que recibieron Ines y Nerea. (0.75 puntos)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)
Ejercicio 4. Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 2 & 2\\ -1 & 1\end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$:
a) Calcula, si es posible, $C+A\cdot B$. (0.75 puntos)
b) Son iguales $C^{-1}+(A\cdot B)^{-1}$ y $(C+A\cdot B)^{-1}$? (1.25 puntos)

SECCION 3 (3.5 puntos) -- BLOQUE 1
Ejercicio 5. En un instituto el 64 % de los estudiantes aprueban Matematicas, el 72 % aprueban Ingles y el 78 % aprueban Matematicas o Ingles o ambas.
a) Cual es la probabilidad de suspender alguna de las dos asignaturas? (0.75 puntos)
b) Son independientes los sucesos aprobar Matematicas y aprobar Ingles? Justifica la respuesta. (0.75 puntos)
Ejercicio 6. La edad de los usuarios de un juego online sigue una distribucion normal de media desconocida y varianza $\sigma^2=4$ anos^2. Se ha tomado una muestra de 10 usuarios y sus edades eran 16, 19, 21, 15, 14, 18, 20, 15, 14 y 18 anos.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la edad de los usuarios con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)
b) Explica, justificando la respuesta, que se podria hacer para conseguir un intervalo de confianza con menor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)
c) Cual seria el error maximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamano 81 y un nivel de confianza del 95,44 %? (0.5 puntos)
[Se adjunta tabla de la distribucion normal estandar en el PDF original]

SECCION 3 (3.5 puntos) -- BLOQUE 2
Ejercicio 5. Durante una tormenta, la altura, $A(x)$, que han alcanzado las olas del mar, en metros, se puede expresar con respecto al tiempo ($x$ en horas) mediante la funcion
$$A(x)=\begin{cases}-(2x+t)^2+(11+t) & \text{si }0\le x<2\\ x^2-8x+19+t & \text{si }2\le x\le 7\end{cases}$$
a) Halla los valores de $t$ para que la funcion de la altura de las olas sea continua en $x=2$. (0.75 puntos)
b) Representa graficamente la funcion de la altura de las olas, $A(x)$, para el valor $t=-1$. (0.75 puntos)
Ejercicio 6. La evolucion del numero de socios de un determinado club de futbol desde el ano de su fundacion, 1.965 ($t=0$), hasta su desaparicion en 2.018 ($t=53$) viene dada por la expresion $S(t)=-0{,}5\cdot(2t^3-34t^2-3968t-60)$ donde $t$ se expresa en anos.
a) Cuantos socios tenia el club en el ano del mundial en Espana, 1.982? (0.5 puntos)
b) En que momento de la existencia del club se alcanzan el maximo y minimo numero de socios? Cuales son los valores del maximo y minimo numero de socios? (1.5 puntos)