Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a \in \mathbb{R}$:$$\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ 2x + ay + z = a \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases}$$a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de $a$ e identifica el número de soluciones en cada caso.
b) [1 punto] Resuelve, razonadamente, el sistema para $a = 1$.

Una cooperativa de aceite quiere diseñar envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1 \$$\mathrm{dm}^3$ que tengan la mínima superficie.
a) [1 punto] Determina la función de la superficie del envase en función de $x$ (incluidas las dos bases).
b) [1 punto] Calcula, razonadamente, los valores de $x$ e $y$ para que la superficie sea mínima.
c) [0,5 puntos] Determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material cuesta 5 € por ${\mathrm{d}\mathrm{m}}^2$$\mathrm{dm}^2$.

Una viga tiene por extremos los puntos $A(2, -1, 3)$ y $B(-2, 4, 5)$.
a) [1 punto] Determina la ecuación de la recta que representa la viga.
b) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?
c) [1 punto] Se coloca una placa metálica triangular de vértices $A$, $B$ y $C(0, 0, 1)$. Determina el área de la placa triangular.

a) [1 punto] Calcula el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to +$\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 - 1}.
b) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ en función de los valores de $a \in \mathbb{R}$.

a) [1 punto] Calcula la integral $\displaystyle$$\int x\sqrt{2x + 3}\,dx$. Sugerencia: $t =$$\sqrt{2x + 3}$.
b) [1,5 puntos] Sean $\vec{u}=(1,a,a)$$\vec{u} = (1, a, a)$ y $\vec{v}=(-1,0,2)$$\vec{v} = (-1, 0, 2)$, con $a \in \mathbb{R}$. Determina el valor de $a$ para que el ángulo entre $\vec{u}$$\vec{u}$ y $\vec{v}$$\vec{v}$ sea de 60º.

a) [1 punto] Calcula los coeficientes $a, b, c \in \mathbb{R}$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$ y un punto de inflexión en $P(1, 2)$.
b) Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0$$\text{,}2$; $P(A \cap B) = 0$$\text{,}1$ y $P(A \cup B) = 0$$\text{,}3$. Calcula:
b.1) [0,75 puntos] $P(B)$ y $P(A \cap$$\overline{B})$, con $\bar{B}$$\overline{B}$ el suceso complementario de $B$.
b.2) [0,75 puntos] $P(A \mid B)$ y $P(B \mid A)$.

a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para el que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Justifica la respuesta.
b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1, 0, 0)$ y es perpendicular a los vectores $\vec{u}=(1,2,1)$$\vec{u} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v}=(1,0,0)$$\vec{v} = (1, 0, 0)$.

a) En un club se juegan tres deportes; cada socio se apunta a uno solo. El 60% juega al tenis, el 25% practica natación y el 15% restante, golf. Han obtenido algún premio el 21% de los que juegan al tenis, el 30% de los de natación y el 12% de los de golf.
a.1) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que un socio elegido al azar haya obtenido algún premio.
a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que un socio ha obtenido premio, calcula la probabilidad de que practique natación.
b) El tiempo en recorrer 5 km sigue una $N(60, 8)$ (minutos).
b.1) [0,5 puntos] Probabilidad de invertir menos de 50 minutos.
b.2) [0,75 puntos] Probabilidad de invertir entre 50 y 66 minutos.