Discutir según los valores del parámetro $\lambda$$\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $\begin{cases}$\lambda x + y = 1 \\ x + 2y + z = 1 \\ x + y + \lambda z = 2 \end{cases}. a) Discutir (1,2 puntos). b) Resolver para $\lambda =-1$$\lambda = -1$ (0,8 puntos).

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix}$, encontrar los valores de $m$ y $n$ para que se verifique $A^t = A^2$ ($A^t$ la traspuesta de $A$). a) Para qué valores de $m$ y $n$ la matriz $A$ no es invertible (0,5 puntos). b) Si $a = 4$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, encontrar la matriz $X$ que verifica $B + XA = C$ (1,5 puntos).

Dados el punto $P(2,1,1)$ y la recta $r:$$\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{-1}$ y la recta $r_1 \equiv x - y + z = 2$, se pide: a) Determinar la posición relativa de $r$ y $s$ (1 punto). b) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$ (1 punto).

a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,2,3)$ y es paralela a la recta $r \equiv \begin{cases} x - y - z - 1 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0 \end{cases}$ (1 punto). b) Calcular el punto simétrico del $(1,2,3)$ respecto del plano $\pi \equiv 3x+2y+z+4=0$$\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0$ (1 punto).

Determinar la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, conociendo que tiene un punto de inflexión en $x = 1$ y que la recta tangente a su gráfica en el punto $(-1, 0)$ es el eje de abscisas (2 puntos).

Demostrar que la ecuación $x^3 + 3x = 1 + \operatorname{sen} x$ tiene alguna solución real en $[0, 2]$. Probar que esa solución es única (2 puntos).

a) Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 0}$$\frac{\sqrt{x^2-x+1} - \sqrt{2x+1}}{1-x}$ (1 punto). b) Hallar la función primitiva $F(x)$ de $f(x) =$$\frac{2x+1}{x^2+x}$ que verifique $F(0) = 3$ (1 punto).

a) Dada $f(x) =$$\frac{\ln x}{x}$, encontrar sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento (1 punto). b) Dada $f(x) = x^2 - 2x$, estudiar el signo de la función en [1,3] y encontrar el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje OX y las rectas $x = 1$ y $x = 3$ (1 punto).

El consumo de azúcar en un país se distribuye normalmente con media 15 kg y desviación típica 5. a) ¿Qué porcentaje de personas consumen menos de 10 kg al año? (1 punto). b) ¿Cuál es el porcentaje cuyo consumo anual es superior a 25 kg? (1 punto).

Estudiantes de Medicina de Andalucía (50%), Baleares (15%) y Castilla y León (35%). No consiguen el título: 15% de Andalucía, 10% de Baleares y 5% de Castilla y León. a) P de que un estudiante elegido al azar no consiga el título (1 punto). b) Si no consigue el título, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León? (1 punto).