Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

1A) Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

a) [1 p.] Discuta el sistema en función del parámetro $k$.

b) [0,5 p.] Calcule su solución en el caso en el que sea compatible indeterminado.

c) [1 p.] Calcule su solución (expresada en función de $k$) para cualquier valor de $k$ para el que el sistema sea compatible determinado.

1B) Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ que cumple que $A^2 = O$, donde $O$ es la matriz nula de orden $3$ (todos sus elementos son cero).

a) [0,75 p.] Demuestre que $(A + I)^2 = 2A + I$, y que $(A + I)^3 = 3A + I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$.

b) [0,75 p.] Demuestre que la matriz $I - A$ es inversa de la matriz $I + A$.

c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $X + AX = A$ expresando $X$ en función de $A$.

2A) Calcule los siguientes límites:

a) [1] $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\operatorname{sen}(x)} \right)$

b) [0,5] $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{2x^2 + 1}}{9x^2 + 5}$

c) [1] $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,(e^{1/x} - 1)$

2B) Considere la función $f(x) = \operatorname{tg}^3(x)$.

a) [1,5] Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int f(x)\,dx$.

b) [0,75] Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX entre los valores $x = 0$ y $x = \dfrac{\pi}{4}$.

c) [0,25] Demuestre, sin aproximar con números decimales, que el área pedida en el apartado anterior es igual a $\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{e}{2}\right)$.

3A)

a) [1,25] Determine el valor de $a$ y $b$ para que el plano $\pi : 2x + y + az = b$ contenga a la recta $$r: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}$$.

b) [1,25] ¿Para qué valores de $a$ y $b$ corta $r$ a $\pi$? Halle el punto de corte en el caso $a = 0$ y $b = 7$.

3B) Un helicóptero situado en el punto $P(1, 2, 1)$ quiere aterrizar en el plano $\pi : x + y + 3z = 0$.

a) [1] Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que lo lleve al punto más cercano a $\pi$.

b) [0,75] Halle dicho punto.

c) [0,75] Calcule la distancia que debe recorrer.

4A) En un cine hay tres salas. En la sala $S_1$ hay $240$ espectadores, en la sala $S_2$ hay $180$ y en la sala $S_3$ hay $80$. Se sabe que la película de la sala $S_1$ gusta al $40\%$ de los espectadores, la de la sala $S_2$ al $50\%$ y la de la sala $S_3$ al $90\%$. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.

a) [1] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.

b) [0,5] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala $S_3$.

c) [1] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala $S_3$ si le ha gustado.

4B) Un avión tiene capacidad para $260$ pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea ha vendido para un día $280$ billetes. La compañía sabe que el $95\%$ de los que compran un billete se presenta en el aeropuerto el día correspondiente. Consideramos el número de pasajeros que se presentan el día en el que se vendieron los $280$ billetes.

a) [0,5] Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica.

b) [0,75] Calcule la probabilidad de que falten plazas en el avión.

c) [0,5] Calcule la probabilidad de que no falten plazas en el avión.

d) [0,75] Calcule la probabilidad de que ni sobren ni falten plazas en el avión.