Exámenes›Aragón›Matemáticas II›Extraordinaria 2025›Solución

Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2025

Aragón4 problemas · Elegir opciones100% Resuelto
1
1
Vectores y volumen
Tetraedro: volumen máximo y altura
a) 1,5b) 1
Se quiere construir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos A(0,0,0)A(0,0,0)\text{,}0\text{,}0), B(2,0,1/2)B(2,0,1/2)\text{,}0\text{,}1/2) y C(3/2,3,1)C(3/2,3,1)\text{,}3\text{,}1) y el vértice superior DD se encuentra en una viga recta entre los puntos E(0,1,3)E(0,1,3)\text{,}1\text{,}3) y F(3,2,3)F(3,2,3)\text{,}2\text{,}3), es decir, D=E+λ EF→D = E + λ EF→\lambda\,\overrightarrow{EF} con λ∈[0,1]λ∈[0,1]\lambda \in [0\text{,}1].
a)
Calcula el volumen máximo de dicha estructura (todos los datos están dados en metros).
(1,5 pts)
b)
Teniendo en cuenta que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, calcula la altura de la estructura (desde DD a la base) si tomásemos λ=1λ=1\lambda = 1.
(1 pto)
2
2
Discusión de sistemas
Sistema con parámetro m (Opción 2.1)
a) 1,5b) 1
Opción 2.1. Dado el sistema de ecuaciones lineales:{x+2y−z=−18x+my−6z=−8−x−2y+m2z=m\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 8x + my - 6z = -8 \\ -x - 2y + m^2 z = m \end{cases}con m∈Rm \in \mathbb{R} un parámetro.
a)
Estudia, en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}, el número de soluciones del sistema anterior.
(1,5 pts)
b)
Resuelve, si es posible, el sistema para m=1m = 1.
(1 pto)
3
3
Ecuaciones matriciales
Matrices columna con A·B = −B y A·C = B − C (Opción 2.2)
a) 1,5b) 1
Opción 2.2. Sea A=(1100010000−11000−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
a)
Estudia si existen matrices columna no nulas BB y CC tales que A⋅B=−BA ⋅B=−B\cdot B = -B y A⋅C=B−CA ⋅C=B−C\cdot C = B - C. En caso afirmativo, calcula la expresión general.
(1,5 pts)
b)
Sea DD una matriz columna no nula tal que A⋅D=DA ⋅D=D\cdot D = D. Demuestra que también se cumple A−1⋅D=DA^{-1} ⋅D=D\cdot D = D.
(1 pto)
4
4
Derivadas e integrales
Derivada, integral y límite (Opción 3.1)
a) 0,5b) 1c) 1
Opción 3.1.
a)
Dada la función f(x)=2+sen⁡(x)cos⁡(x)f(x) = 2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x), calcula f′(x)f'(x).
(0,5 pts)
b)
Obtén ∫cos⁡2(x)−sen⁡2(x)2+sen⁡(x)cos⁡(x) dx\displaystyle∫cos⁡2(x)−sen⁡2(x)2+sen⁡(x)cos⁡(x) dx\int \frac{\cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x)}{2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)}\,dx.
(1 pto)
c)
Calcula (si existe), en función del valor de k∈Zk \in \mathbb{Z}, el valor del límite lim⁡x→1x4+x3−x2−x(x2−1)2k\displaystyle\lim_{x \to 1} x4+x3−x2−x(x2−1)2k\frac{x^4 + x^3 - x^2 - x}{(x^2-1)^{2k}}.
(1 pto)
5
5
Estudio de función e integrales
Crecimiento, extremos y área de g(x) = x − sen(x) (Opción 3.2)
a) 0,5b) 0,5c) 1,5
Opción 3.2. Sea g(x)=x−sen⁡(x)g(x) = x - \operatorname{sen}(x) con x∈Rx \in \mathbb{R}.
a)
Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de g(x)g(x).
(0,5 pts)
b)
Obtén los máximos y mínimos absolutos de g(x)g(x) en el intervalo [π/2,π][π/2,π]\pi/2\text{,} \pi].
(0,5 pts)
c)
Calcula el área delimitada por la gráfica de la función h(x)=x g(x)h(x) = x\,g(x), el eje XX y las rectas x=π/2x = π/2\pi/2 y x=πx = π\pi.
(1,5 pts)
6
6
Probabilidad
Probabilidad total y Bayes: centros universitarios en Teruel (Opción 4.1)
a) 1b) 1c) 0,5
Opción 4.1. La Universidad de Zaragoza cuenta con 3 centros en Teruel: la Facultad de Ciencias Sociales (1550 estudiantes), la Escuela Universitaria Politécnica (250 estudiantes) y la Escuela Universitaria de Enfermería (150 estudiantes). En la Facultad de Ciencias Sociales el 74% de los estudiantes son mujeres, en la Politécnica el 18% y en Enfermería el 76%.
a)
Si se elige un estudiante universitario en Teruel, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
(1 pto)
b)
Sabiendo que la escogida es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que dicha estudiante esté matriculada en la Escuela Politécnica?
(1 pto)
c)
Si el estudiante escogido es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté matriculado en la Escuela Politécnica?
(0,5 pts)
7
7
Distribución normal
Distribución normal: inversión en empresas (Opción 4.2)
a) 1,25b) 1,25
Opción 4.2. El beneficio mensual de dos empresas locales sigue distribuciones normales. PI S.A.: μ=11125μ=11125\mu = 11125, σ=527σ=527\sigma = 527. RHO M.A.: μ=10950μ=10950\mu = 10950, σ=430σ=430\sigma = 430.
a)
El primer inversor quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir?
(1,25 pts)
b)
El segundo inversor quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir?
(1,25 pts)
Ver más exámenes de Matemáticas IIEl mayor directorio de España
Compartido0 veces

Recursos para tu selectividad PAU

Guía definitiva PAU 2026

Todo sobre la PAU: fechas, estructura y consejos

Ver recurso

Calculadora nota PAU

Calcula tu nota de admisión en 30 segundos

Ver recurso

Temario selectividad

Qué entra en cada asignatura y dónde ha caído

Ver recurso

Nuestras asignaturas

Clases con profesor especialista en la PAU

Ver recurso

Selectividad Academy

Aprueba la PAU con nota

Aprende los trucos que no vienen en los libros · Profesores especialistas en la PAU · Damos clase desde cero · Material incluido

Reservar clase gratis →