Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2025

Se quiere construir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 1/2)$ y $C(3/2, 3, 1)$ y el vértice superior, $D$, se encuentra en una viga recta entre los puntos $E(0, 1, 3)$ y $F(3, 2, 3)$ (es decir, $D = E + \lambda\,\overrightarrow{EF}$ con $\lambda \in [0, 1]$).

a) (1,5 puntos) Calcula el volumen máximo de dicha estructura (todos los datos están dados en metros).

b) (1 punto) Teniendo en cuenta que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, calcula la altura de la estructura (desde $D$ a la base) si tomásemos $\lambda = 1$.

Opción 1 (pregunta 2.1). Esta es la primera de las dos opciones de la Pregunta 2; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + 2y - z = -1, \\ 8x + my - 6z = -8, \\ -x - 2y + m^{2}z = m, \end{cases}$$ con $m \in \mathbb{R}$ un parámetro.

a) (1,5 puntos) Estudia, en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$, el número de soluciones del sistema anterior.

b) (1 punto) Resuelve, si es posible, el sistema para $m = 1$.

Opción 2 (pregunta 2.2). Esta es la segunda de las dos opciones de la Pregunta 2; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

Sea $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

a) (1,5 puntos) Estudia si existen matrices columna no nulas $B$ y $C$ tales que $$\begin{cases} A \cdot B = -B, \\ A \cdot C = B - C. \end{cases}$$ En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices $B$ y $C$.

b) (1 punto) Sea $D$ una matriz columna no nula tal que $A \cdot D = D$. Demuestra que también se cumple $A^{-1}\cdot D = D$.

Opción 1 (pregunta 3.1). Esta es la primera de las dos opciones de la Pregunta 3; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

a) (0,5 puntos) Dada la función $f(x) = 2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)$ con $x \in \mathbb{R}$, calcula $f'(x)$.

b) (1 punto) Obtén $$\int \dfrac{\cos^{2}(x) - \operatorname{sen}^{2}(x)}{2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)}\,dx.$$

c) (1 punto) Calcula (si existe), en función del valor de $k \in \mathbb{Z}$, el valor del límite $$\lim_{x\to 1} \dfrac{x^{4} + x^{3} - x^{2} - x}{(x^{2} - 1)^{2k}}.$$

Opción 2 (pregunta 3.2). Esta es la segunda de las dos opciones de la Pregunta 3; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

Sea $g(x) = x - \operatorname{sen}(x)$ con $x \in \mathbb{R}$.

a) (0,5 puntos) Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de $g(x)$.

b) (0,5 puntos) Obtén los máximos y mínimos absolutos de $g(x)$ en el intervalo $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$.

c) (1,5 puntos) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función $h(x) = x\,g(x)$, el eje $X$ y las rectas $x = \pi/2$ y $x = \pi$.

Opción 1 (pregunta 4.1). Esta es la primera de las dos opciones de la Pregunta 4; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

Dentro de un estudio sobre la brecha que existe en el acceso de las mujeres a las carreras del ámbito de las STEM (ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas) se está analizando el caso de Teruel.

La Universidad de Zaragoza cuenta con 3 centros en Teruel: la Facultad de Ciencias Sociales, la Escuela Universitaria Politécnica y la Escuela Universitaria de Enfermería. En el curso 2024-2025 se matricularon en esos centros 1550, 250 y 150 estudiantes, respectivamente. Además, en la Facultad de Ciencias Sociales el 74 % de los estudiantes son mujeres, en la Politécnica lo son solo el 18 % y en Enfermería el 76 %.

Colabora con el estudio y contesta las siguientes preguntas:

a) (1 punto) Si se elige un estudiante universitario en Teruel, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

b) (1 punto) Sabiendo que la escogida es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que dicha estudiante esté matriculada en la Escuela Politécnica?

c) (0,5 puntos) Si el estudiante escogido es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté matriculado en la Escuela Politécnica?

Opción 2 (pregunta 4.2). Esta es la segunda de las dos opciones de la Pregunta 4; el estudiante elige una. La resolvemos por valor pedagógico.

El beneficio mensual de dos empresas locales puede aproximarse por dos variables aleatorias con distribución normal. La media y la desviación típica, en euros, de ambas distribuciones es la siguiente:

PI S.A.: media $11125$, desviación típica $527$. RHO M.A.: media $10950$, desviación típica $430$.

Hay dos inversores que quieren invertir parte de sus ahorros en una de estas dos empresas.

a) (1,25 puntos) El primer inversor, con perfil agresivo, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10.000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir?

b) (1,25 puntos) El segundo inversor, con un perfil más conservador, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir? [Se adjunta la tabla de la N(0,1) en el PDF original.]