Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas CCSS — Extraordinaria 2021
Pregunta 1
2,5 puntos(0,7 + 1 + 0,8)
Matriz A: inversa y ecuación matricial
EJERCICIO 1
Se considera la matriz A =
2
1
0
1
0
2
0
2
a
.
a) (0.7 puntos) Determine para qué valores del parámetro a, la matriz A tiene inversa.
b) (1 punto) Para a = 1, calcule la inversa de A.
c) (0.8 puntos) Para a = 1, resuelva la ecuación matricial A · X = Bt, siendo B =
0
1
−1
.
Se considera la matriz A =
2
1
0
1
0
2
0
2
a
.
a) (0.7 puntos) Determine para qué valores del parámetro a, la matriz A tiene inversa.
b) (1 punto) Para a = 1, calcule la inversa de A.
c) (0.8 puntos) Para a = 1, resuelva la ecuación matricial A · X = Bt, siendo B =
0
1
−1
.
Pregunta 2
2,5 puntos(1,5 + 0,5 + 0,5)
Inecuaciones, región factible y programación lineal
EJERCICIO 2
Se consideran las siguientes inecuaciones:
5x −4y ≤−19
3x −4y ≤−13
x ≥−7
−x −y ≥2
a) (1.5 puntos) Represente la región factible de nida por las inecuaciones anteriores y determine sus
vértices.
b) (0.5 puntos) ¾Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función
G(x, y) = −1
5 x + 5
2 y
en la citada región factible? ¾Cuál es su valor?
c) (0.5 puntos) Responda de forma razonada si la función G(x, y) = −1
5 x + 5
2 y
puede alcanzar el
valor 47
3 en la región factible hallada.
BLOQUE B
Se consideran las siguientes inecuaciones:
5x −4y ≤−19
3x −4y ≤−13
x ≥−7
−x −y ≥2
a) (1.5 puntos) Represente la región factible de nida por las inecuaciones anteriores y determine sus
vértices.
b) (0.5 puntos) ¾Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función
G(x, y) = −1
5 x + 5
2 y
en la citada región factible? ¾Cuál es su valor?
c) (0.5 puntos) Responda de forma razonada si la función G(x, y) = −1
5 x + 5
2 y
puede alcanzar el
valor 47
3 en la región factible hallada.
BLOQUE B
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Pregunta 3
2,5 puntos(1 + 0,8 + 0,7)
Función a trozos: continuidad, derivabilidad, monotonía e integral
EJERCICIO 3
Se considera la función f(x) =
2x+1
si x < 0
x2 −2x
si x ≥0
a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función f en su dominio.
b) (0.8 puntos) Estudie la monotonía de la función f y calcule el mínimo.
c) (0.7 puntos) Calcule
Z 2
−2
f(x) dx.
Se considera la función f(x) =
2x+1
si x < 0
x2 −2x
si x ≥0
a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función f en su dominio.
b) (0.8 puntos) Estudie la monotonía de la función f y calcule el mínimo.
c) (0.7 puntos) Calcule
Z 2
−2
f(x) dx.
Pregunta 4
2,5 puntos(1,5 + 1)
Diagnosticados COVID-19: continuidad, derivabilidad y máximo
EJERCICIO 4
El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se
aproxima por la siguiente función:
f(t) =
−t2 + 2t −0.3
si 0.2 ≤t ≤1.8
0.1 t −0.12
si 1.8 < t ≤5
−0.5 t2 + 8.3 t −28.62
si 5 < t ≤10
donde t es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2.020.
a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función f en su dominio.
b) (1 punto) ¾En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¾Cuál es ese número?
PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA
UNIVERSIDAD
ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA, CURSO 2.020-2.021
MATEMÁTICAS
APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II
BLOQUE C
El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se
aproxima por la siguiente función:
f(t) =
−t2 + 2t −0.3
si 0.2 ≤t ≤1.8
0.1 t −0.12
si 1.8 < t ≤5
−0.5 t2 + 8.3 t −28.62
si 5 < t ≤10
donde t es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2.020.
a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función f en su dominio.
b) (1 punto) ¾En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¾Cuál es ese número?
PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA
UNIVERSIDAD
ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA, CURSO 2.020-2.021
MATEMÁTICAS
APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II
BLOQUE C
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Pregunta 5
2,5 puntos(1,25 + 0,5 + 0,75)
Enfermedad y test: probabilidad condicionada y Bayes
EJERCICIO 5
En una población, se sabe que el 15 % de las personas padece una determinada enfermedad. Si la persona
está enferma, un test da positivo en el 92 % de los casos, mientras que si la persona está sana, el test da
positivo en el 4 % de los casos (falso positivo). Se elige una persona al azar de esa población.
a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.
b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.
c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.
En una población, se sabe que el 15 % de las personas padece una determinada enfermedad. Si la persona
está enferma, un test da positivo en el 92 % de los casos, mientras que si la persona está sana, el test da
positivo en el 4 % de los casos (falso positivo). Se elige una persona al azar de esa población.
a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.
b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.
c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.
Pregunta 6
2,5 puntos(1 + 0,5 + 1)
Comunidad de vecinos: vehículo y transporte público
EJERCICIO 6
En una comunidad de vecinos, el 90 % de sus miembros tiene vehículo propio, el 40 % hace uso del
transporte público y un 3 % ni tiene vehículo propio ni usa el transporte público. Se elige al azar un
miembro de esa comunidad.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público.
b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio.
c) (1 punto) Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo
propio.
BLOQUE D
En una comunidad de vecinos, el 90 % de sus miembros tiene vehículo propio, el 40 % hace uso del
transporte público y un 3 % ni tiene vehículo propio ni usa el transporte público. Se elige al azar un
miembro de esa comunidad.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público.
b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio.
c) (1 punto) Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo
propio.
BLOQUE D
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Pregunta 7
2,5 puntos(1,5 + 1)
Intervalo de confianza para proporción (residentes británicos y UE)
EJERCICIO 7
Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino
Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose
que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.
a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de con anza al 99.5 %, para estimar la proporción real de esos
residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.
b) (1 punto) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de con anza del apartado
anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de resi-
dentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error
inferior al 5 %.
Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino
Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose
que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.
a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de con anza al 99.5 %, para estimar la proporción real de esos
residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.
b) (1 punto) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de con anza del apartado
anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de resi-
dentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error
inferior al 5 %.
Pregunta 8
2,5 puntos(0,5 + 1 + 1)
Distribución normal: desviación típica de medias muestrales e intervalo de confianza
EJERCICIO 8
Sea X una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación
típica 4.
a) (0.5 puntos) ¾Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño
12 de la variable aleatoria X?
b) (1 punto) Para estimar la media poblacional de la variable X, se toma una muestra aleatoria de
tamaño 12, obteniéndose los siguientes resultados:
11.8
10
9.8
12
9.7
10.8
9.6
11.3
10.4
12.2
9.1
10.5
Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de con anza al 97 % para estimar la
media poblacional.
c) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de
con anza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que 1.2.
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5.000
0.5.040
0.5.080
0.5.120
0.5.160
0.5.199
0.5.239
0.5.279
0.5.319
0.5.359
0.1
0.5.398
0.5.438
0.5.478
0.5.517
0.5.557
0.5.596
0.5.636
0.5.675
0.5.714
0.5.753
0.2
0.5.793
0.5.832
0.5.871
0.5.910
0.5.948
0.5.987
0.6.026
0.6.064
0.6.103
0.6.141
0.3
0.6.179
0.6.217
0.6.255
0.6.293
0.6.331
0.6.368
0.6.406
0.6.443
0.6.480
0.6.517
0.4
0.6.554
0.6.591
0.6.628
0.6.664
0.6.700
0.6.736
0.6.772
0.6.808
0.6.844
0.6.879
0.5
0.6.915
0.6.950
0.6.985
0.7.019
0.7.054
0.7.088
0.7.123
0.7.157
0.7.190
0.7.224
0.6
0.7.257
0.7.291
0.7.324
0.7.357
0.7.389
0.7.422
0.7.454
0.7.486
0.7.517
0.7.549
0.7
0.7.580
0.7.611
0.7.642
0.7.673
0.7.704
0.7.734
0.7.764
0.7.794
0.7.823
0.7.852
0.8
0.7.881
0.7.910
0.7.939
0.7.967
0.7.995
0.8.023
0.8.051
0.8.078
0.8.106
0.8.133
0.9
0.8.159
0.8.186
0.8.212
0.8.238
0.8.264
0.8.289
0.8.315
0.8.340
0.8.365
0.8.389
1.0
0.8.413
0.8.438
0.8.461
0.8.485
0.8.508
0.8.531
0.8.554
0.8.577
0.8.599
0.8.621
1.1
0.8.643
0.8.665
0.8.686
0.8.708
0.8.729
0.8.749
0.8.770
0.8.790
0.8.810
0.8.830
1.2
0.8.849
0.8.869
0.8.888
0.8.907
0.8.925
0.8.944
0.8.962
0.8.980
0.8.997
0.9.015
1.3
0.9.032
0.9.049
0.9.066
0.9.082
0.9.099
0.9.115
0.9.131
0.9.147
0.9.162
0.9.177
1.4
0.9.192
0.9.207
0.9.222
0.9.236
0.9.251
0.9.265
0.9.279
0.9.292
0.9.306
0.9.319
1.5
0.9.332
0.9.345
0.9.357
0.9.370
0.9.382
0.9.394
0.9.406
0.9.418
0.9.429
0.9.441
1.6
0.9.452
0.9.463
0.9.474
0.9.484
0.9.495
0.9.505
0.9.515
0.9.525
0.9.535
0.9.545
1.7
0.9.554
0.9.564
0.9.573
0.9.582
0.9.591
0.9.599
0.9.608
0.9.616
0.9.625
0.9.633
1.8
0.9.641
0.9.649
0.9.656
0.9.664
0.9.671
0.9.678
0.9.686
0.9.693
0.9.699
0.9.706
1.9
0.9.713
0.9.719
0.9.726
0.9.732
0.9.738
0.9.744
0.9.750
0.9.756
0.9.761
0.9.767
2.0
0.9.772
0.9.778
0.9.783
0.9.788
0.9.793
0.9.798
0.9.803
0.9.808
0.9.812
0.9.817
2.1
0.9.821
0.9.826
0.9.830
0.9.834
0.9.838
0.9.842
0.9.846
0.9.850
0.9.854
0.9.857
2.2
0.9.861
0.9.864
0.9.868
0.9.871
0.9.875
0.9.878
0.9.881
0.9.884
0.9.887
0.9.890
2.3
0.9.893
0.9.896
0.9.898
0.9.901
0.9.904
0.9.906
0.9.909
0.9.911
0.9.913
0.9.916
2.4
0.9.918
0.9.920
0.9.922
0.9.925
0.9.927
0.9.929
0.9.931
0.9.932
0.9.934
0.9.936
2.5
0.9.938
0.9.940
0.9.941
0.9.943
0.9.945
0.9.946
0.9.948
0.9.949
0.9.951
0.9.952
2.6
0.9.953
0.9.955
0.9.956
0.9.957
0.9.959
0.9.960
0.9.961
0.9.962
0.9.963
0.9.964
2.7
0.99.653
0.99.664
0.99.674
0.99.683
0.99.693
0.99.702
0.99.711
0.99.720
0.99.728
0.99.736
2.8
0.99.744
0.99.752
0.99.760
0.99.767
0.99.774
0.99.781
0.99.788
0.99.795
0.99.801
0.99.807
2.9
0.99.813
0.99.819
0.99.825
0.99.831
0.99.836
0.99.841
0.99.846
0.99.851
0.99.856
0.99.861
3.0
0.99.865
0.99.869
0.99.874
0.99.878
0.99.882
0.99.886
0.99.889
0.99.893
0.99.896
0.99.900
3.1
0.99.903
0.99.906
0.99.910
0.99.913
0.99.916
0.99.918
0.99.921
0.99.924
0.99.926
0.99.929
3.2
0.99.931
0.99.934
0.99.936
0.99.938
0.99.940
0.99.942
0.99.944
0.99.946
0.99.948
0.99.950
3.3
0.99.952
0.99.953
0.99.955
0.99.957
0.99.958
0.99.960
0.99.961
0.99.962
0.99.964
0.99.965
3.4
0.99.966
0.99.968
0.99.969
0.99.970
0.99.971
0.99.972
0.99.973
0.99.974
0.99.975
0.99.976
3.5
0.99.977
0.99.978
0.99.978
0.99.979
0.99.980
0.99.981
0.99.981
0.99.982
0.99.983
0.99.983
3.6
0.99.984
0.99.985
0.99.985
0.99.986
0.99.986
0.99.987
0.99.987
0.99.988
0.99.988
0.99.989
3.7
0.99.989
0.99.990
0.99.990
0.99.990
0.99.991
0.99.991
0.99.992
0.99.992
0.99.992
0.99.992
3.8
0.99.993
0.99.993
0.99.993
0.99.994
0.99.994
0.99.994
0.99.994
0.99.995
0.99.995
0.99.995
3.9
0.99.995
0.99.995
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.997
0.99.997
4.0
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.998
0.99.998
0.99.998
0.99.998
Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z , con distribución N(0,1), esté
por debajo del valor z.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)
z
N(0,1)
-
+
0
Sea X una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación
típica 4.
a) (0.5 puntos) ¾Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño
12 de la variable aleatoria X?
b) (1 punto) Para estimar la media poblacional de la variable X, se toma una muestra aleatoria de
tamaño 12, obteniéndose los siguientes resultados:
11.8
10
9.8
12
9.7
10.8
9.6
11.3
10.4
12.2
9.1
10.5
Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de con anza al 97 % para estimar la
media poblacional.
c) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de
con anza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que 1.2.
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5.000
0.5.040
0.5.080
0.5.120
0.5.160
0.5.199
0.5.239
0.5.279
0.5.319
0.5.359
0.1
0.5.398
0.5.438
0.5.478
0.5.517
0.5.557
0.5.596
0.5.636
0.5.675
0.5.714
0.5.753
0.2
0.5.793
0.5.832
0.5.871
0.5.910
0.5.948
0.5.987
0.6.026
0.6.064
0.6.103
0.6.141
0.3
0.6.179
0.6.217
0.6.255
0.6.293
0.6.331
0.6.368
0.6.406
0.6.443
0.6.480
0.6.517
0.4
0.6.554
0.6.591
0.6.628
0.6.664
0.6.700
0.6.736
0.6.772
0.6.808
0.6.844
0.6.879
0.5
0.6.915
0.6.950
0.6.985
0.7.019
0.7.054
0.7.088
0.7.123
0.7.157
0.7.190
0.7.224
0.6
0.7.257
0.7.291
0.7.324
0.7.357
0.7.389
0.7.422
0.7.454
0.7.486
0.7.517
0.7.549
0.7
0.7.580
0.7.611
0.7.642
0.7.673
0.7.704
0.7.734
0.7.764
0.7.794
0.7.823
0.7.852
0.8
0.7.881
0.7.910
0.7.939
0.7.967
0.7.995
0.8.023
0.8.051
0.8.078
0.8.106
0.8.133
0.9
0.8.159
0.8.186
0.8.212
0.8.238
0.8.264
0.8.289
0.8.315
0.8.340
0.8.365
0.8.389
1.0
0.8.413
0.8.438
0.8.461
0.8.485
0.8.508
0.8.531
0.8.554
0.8.577
0.8.599
0.8.621
1.1
0.8.643
0.8.665
0.8.686
0.8.708
0.8.729
0.8.749
0.8.770
0.8.790
0.8.810
0.8.830
1.2
0.8.849
0.8.869
0.8.888
0.8.907
0.8.925
0.8.944
0.8.962
0.8.980
0.8.997
0.9.015
1.3
0.9.032
0.9.049
0.9.066
0.9.082
0.9.099
0.9.115
0.9.131
0.9.147
0.9.162
0.9.177
1.4
0.9.192
0.9.207
0.9.222
0.9.236
0.9.251
0.9.265
0.9.279
0.9.292
0.9.306
0.9.319
1.5
0.9.332
0.9.345
0.9.357
0.9.370
0.9.382
0.9.394
0.9.406
0.9.418
0.9.429
0.9.441
1.6
0.9.452
0.9.463
0.9.474
0.9.484
0.9.495
0.9.505
0.9.515
0.9.525
0.9.535
0.9.545
1.7
0.9.554
0.9.564
0.9.573
0.9.582
0.9.591
0.9.599
0.9.608
0.9.616
0.9.625
0.9.633
1.8
0.9.641
0.9.649
0.9.656
0.9.664
0.9.671
0.9.678
0.9.686
0.9.693
0.9.699
0.9.706
1.9
0.9.713
0.9.719
0.9.726
0.9.732
0.9.738
0.9.744
0.9.750
0.9.756
0.9.761
0.9.767
2.0
0.9.772
0.9.778
0.9.783
0.9.788
0.9.793
0.9.798
0.9.803
0.9.808
0.9.812
0.9.817
2.1
0.9.821
0.9.826
0.9.830
0.9.834
0.9.838
0.9.842
0.9.846
0.9.850
0.9.854
0.9.857
2.2
0.9.861
0.9.864
0.9.868
0.9.871
0.9.875
0.9.878
0.9.881
0.9.884
0.9.887
0.9.890
2.3
0.9.893
0.9.896
0.9.898
0.9.901
0.9.904
0.9.906
0.9.909
0.9.911
0.9.913
0.9.916
2.4
0.9.918
0.9.920
0.9.922
0.9.925
0.9.927
0.9.929
0.9.931
0.9.932
0.9.934
0.9.936
2.5
0.9.938
0.9.940
0.9.941
0.9.943
0.9.945
0.9.946
0.9.948
0.9.949
0.9.951
0.9.952
2.6
0.9.953
0.9.955
0.9.956
0.9.957
0.9.959
0.9.960
0.9.961
0.9.962
0.9.963
0.9.964
2.7
0.99.653
0.99.664
0.99.674
0.99.683
0.99.693
0.99.702
0.99.711
0.99.720
0.99.728
0.99.736
2.8
0.99.744
0.99.752
0.99.760
0.99.767
0.99.774
0.99.781
0.99.788
0.99.795
0.99.801
0.99.807
2.9
0.99.813
0.99.819
0.99.825
0.99.831
0.99.836
0.99.841
0.99.846
0.99.851
0.99.856
0.99.861
3.0
0.99.865
0.99.869
0.99.874
0.99.878
0.99.882
0.99.886
0.99.889
0.99.893
0.99.896
0.99.900
3.1
0.99.903
0.99.906
0.99.910
0.99.913
0.99.916
0.99.918
0.99.921
0.99.924
0.99.926
0.99.929
3.2
0.99.931
0.99.934
0.99.936
0.99.938
0.99.940
0.99.942
0.99.944
0.99.946
0.99.948
0.99.950
3.3
0.99.952
0.99.953
0.99.955
0.99.957
0.99.958
0.99.960
0.99.961
0.99.962
0.99.964
0.99.965
3.4
0.99.966
0.99.968
0.99.969
0.99.970
0.99.971
0.99.972
0.99.973
0.99.974
0.99.975
0.99.976
3.5
0.99.977
0.99.978
0.99.978
0.99.979
0.99.980
0.99.981
0.99.981
0.99.982
0.99.983
0.99.983
3.6
0.99.984
0.99.985
0.99.985
0.99.986
0.99.986
0.99.987
0.99.987
0.99.988
0.99.988
0.99.989
3.7
0.99.989
0.99.990
0.99.990
0.99.990
0.99.991
0.99.991
0.99.992
0.99.992
0.99.992
0.99.992
3.8
0.99.993
0.99.993
0.99.993
0.99.994
0.99.994
0.99.994
0.99.994
0.99.995
0.99.995
0.99.995
3.9
0.99.995
0.99.995
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.996
0.99.997
0.99.997
4.0
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.997
0.99.998
0.99.998
0.99.998
0.99.998
Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z , con distribución N(0,1), esté
por debajo del valor z.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)
z
N(0,1)
-
+
0
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