Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) (1.5 puntos) Determine la matriz $X$ que verifica $A \cdot X + B = A^2 \cdot C$.

b) (1 punto) Determine las dimensiones de dos matrices $P$ y $Q$ sabiendo que $A \cdot P^t + C = C \cdot (Q \cdot B)$.

Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

a) (1.4 puntos) Represente dicho recinto y determine sus vértices.

b) (0.6 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x,y) = x + 4y$ en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.

c) (0.5 puntos) ¿Podría tomar la función objetivo $F$ el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.

a) (1 punto) Se considera la función $f(x) = x^3 + bx^2 + cx - 1$ donde $b$ y $c$ son números reales. Determine el valor de $b$ y $c$ para que la función $f$ presente un extremo en el punto de abscisa $x = \frac{1}{3}$ y además la gráfica de la función $f$ pase por el punto $(-2, -3)$.

b) (1.5 puntos) Dada la función $g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1$, realice el esbozo de su gráfica, estableciendo los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g$ y el eje de abscisas.

El beneficio, en miles de euros, que se obtiene en una pequeña finca familiar por la venta de aceitunas, en miles de kilogramos, viene dado por la siguiente función:

a) (0.75 puntos) Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje OX.

b) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de $x$ la finca no tiene pérdidas?

c) (0.5 puntos) ¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio?

d) (0.75 puntos) ¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 5.000€?

En una determinada región hay tres universidades $A$, $B$ y $C$. De los estudiantes que terminaron sus estudios el año pasado, el 60% procedían de la universidad $A$, el 30% de la universidad $B$ y el resto de $C$. Además, se conoce la probabilidad de que un estudiante de la universidad $A$ no encuentre trabajo en su región es 0.4 y para un estudiante de $B$ es 0.5.

a) (1.5 puntos) Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es 0.395, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad $C$ encuentre trabajo en su región.

b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un estudiante que no ha encontrado trabajo en su región proceda de la universidad $A$ o de la $B$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos del mismo espacio muestral tales que:

a) (1 punto) ¿Son $A$ y $B$ independientes? ¿Son $A$ y $B$ incompatibles?

b) (0.75 puntos) Calcule $P(A^c \cap B^c)$.

c) (0.75 puntos) Calcule $P(B | A^c)$.

Una fábrica de tornillos quiere hacer un estudio sobre la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 1.500 tornillos, resultando que 1.425 cumplen las especificaciones del fabricante.

a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97%.

b) (1 punto) Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?

El número de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo sigue una distribución Normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica 3 días.

a) (1 punto) Se elige una muestra aleatoria de 100 titulados obteniéndose una media muestral de 8.1 días. Calcule un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.

b) (1 punto) Con un nivel de confianza del 92%, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día.

c) (0.5 puntos) Suponiendo $\mu = 7{,}61$ días y tomando muestras aleatorias de 36 titulados, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días?