Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Ordinaria 2026

A) En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de 1800€. En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose 1000€. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de 1560€.
a) (2.25 puntos) Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida.
b) (0.75 puntos) Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación.
B) (3 puntos) Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir $1\ m^2$ de tablero DM se consumen $10\ m^3$ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10€. Para producir $1\ m^2$ de tablero aglomerado se consumen $30\ m^3$ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20€. La empresa puede fabricar diariamente como máximo $12\ m^2$ de tableros DM y $18\ m^2$ de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a $26\ m^2$ diarios y dispone de $600\ m^3$ de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.

Se considera la función
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{20}&\text{si }0\le x<20,\\a+bx&\text{si }20\le x<50,\\36-\dfrac{x^2}{100}&\text{si }50\le x\le60\end{cases}$$
siendo $a$ y $b$ números reales.
a) (0.75 puntos) Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua en todo su dominio.
b) Para $a=26$ y $b=-\dfrac{3}{10}$:
i) (0.75 puntos) Calcule los extremos relativos de $f$.
ii) (0.5 puntos) Represente gráficamente $f$.
iii) (1 punto) Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje $OX$ y la gráfica de la función $f$.

A) a) (1 punto) Dada la población $\{-5,-2,13,18,20\}$, se consideran todas las muestras de tamaño 3 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de la variable media muestral.
b) (1 punto) Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral, se sabe que $P(A)=0.75$, $P(B^c)=0.8$ y $P(A/B)=0.6$. Calcule las siguientes probabilidades: $P(A\cap B)$, $P(B-A)$, $P(A\cup B)$, $P(A^c-B)$.
B) Sean $A$ y $B$ dos sucesos del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A)$ es el doble de $P(B)$, $P(B^c/A)=0.75$ y $P(A\cap B)=0.2$.
a) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que ocurra $B$.
b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$. ¿Son los sucesos $A^c$ y $B^c$ incompatibles?
c) Si el experimento se realiza 1350 veces de forma independiente:
i) (0.25 puntos) Determine la distribución de la variable aleatoria $X$: "Número de veces que ocurre $B$".
ii) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que $B$ ocurra a lo sumo 580 veces, pero más de 499 veces.

Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza $225\ km^2$ y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de 49 viajes y obtiene una media de $325\ km$ recorridos por viaje.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria $Z$, con distribución N(0,1), esté por debajo del valor $z$.