(10 puntos) Dado el sistema lineal:

a.- (3 puntos) Exprese el sistema anterior en forma matricial $(AX = B)$ y determine el valor(es) del parámetro $m$ para que el sistema sea compatible determinado.

b.- (3 puntos) ¿Existe algún valor del parámetro $m$ para que el sistema sea compatible indeterminado? En caso afirmativo, resuelva el sistema.

c.- (4 puntos) Para $m = 1$, calcule $X = A^{-1}B$, siendo $A, B$ las matrices del apartado a.-.

(10 puntos) Fernanda dispone de 10.000 euros para invertir. Le han recomendado dos productos que en el último año tuvieron buenos resultados: criptomonedas y fondos de inversión garantizados. Por lo que ha leído en la prensa espera que la rentabilidad anual de las criptomonedas sea del 30% y la de los fondos de inversión sea del 5%. Para que la inversión no sea demasiado arriesgada quiere invertir en fondos tanto o más que en criptomonedas y además, le aconsejan invertir en criptomonedas un máximo de 3.000 euros y un mínimo de 1.000€.

a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cómo debe invertir Fernanda sus ahorros para obtener la máxima rentabilidad.

b.- (5 puntos) Resuelva el problema y calcule la rentabilidad máxima conseguida con la inversión.

c.- (2 puntos) Su gestor le dice que por la coyuntura económica actual el riesgo de inversión es del 35% para las criptomonedas y 0% para los fondos. Si Fernanda quisiera minimizar el riesgo de la inversión, justifica si invertir 1.000 euros en criptomonedas y 5.000 en fondos es una solución óptima (con las restricciones del enunciado).

(10 puntos) Dada $f(x) = 50 + \dfrac{1}{100}(1 - x) + \dfrac{1}{1 - x}$. Se pide:

a.- (2 puntos) Calcule el dominio y, si existen, las asíntotas verticales y horizontales.

b.- (5 puntos) Razone que $f(x)$ tiene dos extremos relativos, uno mínimo y otro máximo. ¿El valor en el mínimo de la función es mayor o menor que el valor en el máximo?

c.- (3 puntos) Supongamos que $x$ representa el precio de venta de un kg de solomillo según la época del año, $x \in [5, 21]$ euros por kilo, y $f(x)$ el ingreso diario de un mayorista (en cientos de euros) por la venta del producto. ¿A qué precio debe vender para obtener el máximo ingreso? ¿A cuántos euros asciende dicho ingreso máximo?

(10 puntos) La primera derivada de una cierta función es $f'(x) = x(x-1)^2$.

a.- (3 puntos) ¿En qué intervalo $f(x)$ es creciente? Y ¿decreciente? Calcule los extremos relativos.

b.- (4 puntos) ¿En qué intervalo es cóncava la gráfica de $f(x)$? ¿Y convexa? Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$.

c.- (3 puntos) Determine $f(x)$ sabiendo que $f(0) = 10$.

(10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

a.- (7 puntos) Una aseguradora ha lanzado seguros multidispositivos a jóvenes para contingencias de hurtos, roturas, daños, etc. de patinetes, teléfonos móviles y ordenadores portátiles. Los seguros de patinetes suponen el 40% de su cartera, los móviles representan el 45% y los portátiles el resto de su cartera. La compañía conoce que un 51% de patinetes, un 40% de teléfonos móviles y un 9% de ordenadores dan lugar a un parte de siniestro.

a.1 (2 puntos) Calcule la probabilidad de que se comunique un parte de siniestro.

a.2 (2 puntos) Si llegara un parte de siniestro, calcule la probabilidad de haber sido una contingencia por un teléfono móvil.

a.3 (3 puntos) Si llegara un parte de siniestro, ¿cuál de los tres dispositivos es más probable que haya causado la contingencia?

b.- (3 puntos) En una ciudad se ha encuestado a 100 personas preguntándoles si tenían contratado algún seguro para su teléfono móvil. Se obtuvo como resultado que 15 personas tenían contratado este tipo de seguro. Determine un intervalo de confianza al 96% para la proporción de personas de esa ciudad que tienen contratado un seguro para su móvil.

(10 puntos) El tiempo de espera para recibir en casa «tu compra en pocos minutos» se distribuye según una distribución normal de varianza 16 minutos.

a.- (3 puntos) Si la media para el tiempo de espera fuera de 12 minutos, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de 7 pedidos fuese de más de 10 minutos?

b.- (4 puntos) Si la media obtenida a partir de una muestra aleatoria de 49 encargos fue de 12 minutos, calcule un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 97%.

c.- (3 puntos) Con datos de 16 encargos se ha calculado el intervalo de confianza $(9{,}7;\,13{,}5)$ minutos para el tiempo medio en recibir el pedido. Determine el nivel de confianza de ese intervalo.