(10 puntos) Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} m & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$.

a.- (3 puntos) Calcule el valor de $m$ para que la ecuación matricial $X\cdot A = B$ tenga solución única.

b.- (4 puntos) Para $m = 1$, resuelva la ecuación matricial anterior.

c.- (3 puntos) Resuelva el sistema de ecuaciones: $$B\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$.

(10 puntos) Una empresa de transportes valora la apertura de sucursales rurales y/o urbanas. Las sucursales rurales emplean a tres personas, requieren de una inversión de 100.000 euros para su apertura y generan unos ingresos de 15.000 euros al mes. Las sucursales urbanas emplean a 6 personas, requieren de 150.000 euros de inversión y generan un ingreso de 18.000 euros al mes. La empresa de transportes tiene hasta tres millones de euros disponibles para abrir nuevas sucursales, han decidido limitar el número de nuevas sucursales a 25 y se han comprometido a crear como mínimo 60 empleos.

a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita calcular el número de sucursales de cada tipo que deben abrirse para maximizar el ingreso mensual.

b.- (5 puntos) Resuelva el problema anterior y calcule el ingreso mensual máximo que se obtendría.

c.- (2 puntos) En la solución óptima, ¿cuántos empleos generará?, ¿se gasta todo el dinero disponible?

(10 puntos) En una empresa el coste total, en euros, de producir $q$ unidades viene dado por: $$C(q) = 300\,q - 10\,q^2 + \dfrac{q^3}{3}$$

a.- (3 puntos) Calcule la función coste marginal $C_m(q) = C'(q)$. ¿A partir de qué unidad el coste marginal aumenta al aumentar la producción?

b.- (3 puntos) Determine el nivel de producción para el que se minimiza el coste medio $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$.

c.- (4 puntos) Si el precio de venta unitario, en euros, del artículo en el mercado es $P(q) = 240 - 2q$. Determine para qué nivel de producción se maximiza el beneficio (ingresos menos costes).

(10 puntos) Siendo $a, b$ parámetros reales, se considera la función:

a.- (3 puntos) Determine el valor de los parámetros para que $f(x)$ sea continua.

b.- (4 puntos) Para dichos valores, analice si $f(x)$ es derivable en $x = 0$ y en $x = 3$.

c.- (3 puntos) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ si $x \in [6,9]$ y las coordenadas de los puntos donde se alcanzan dichos valores.

(10 puntos) Responde a las dos cuestiones siguientes:

a.- (6 puntos) Se ha realizado una encuesta sobre la compra de ropa por internet, en concreto sobre compra de ropa nueva y compra de ropa de segunda mano. De los entrevistados, el 90% dice que compra ropa (usada o nueva), el 15% compra ropa de ambos tipos y el 60% no compra ropa de segunda mano. Para un encuestado elegido al azar:

a.1 (3 puntos) Calcule la probabilidad de que compre ropa nueva y no de segunda mano.

a.2 (3 puntos) Si dice que no compra ropa de segunda mano, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco compre ropa nueva?

b.- (4 puntos) En una encuesta realizada a 64 jóvenes, 8 se mostraron contrarios a llevar mascarillas en el interior de recintos de ocio. Calcule un intervalo de confianza al 97% para determinar la proporción de jóvenes que son contrarios al uso de mascarilla en interiores de recintos de ocio.

Por otro lado, el alcalde de la ciudad considera que si existe un 25% de jóvenes adversos al uso de mascarilla se requiere aplicar algún tipo de medida de concienciación. A la vista del intervalo calculado, ¿se debería implantar alguna medida de concienciación?

(10 puntos) Por una prueba de acceso a la Universidad realizada a los estudiantes de segundo de Bachillerato, se sabe que las calificaciones obtenidas se distribuyen según una distribución normal.

a.- (4 puntos) Si la media de la prueba selectiva es de 65 puntos y la desviación típica 8, calcule la probabilidad de que la nota media de 25 estudiantes elegidos al azar sea mayor a 63 puntos.

b.- (3 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la nota media de ingreso en DADE, con un nivel de confianza del 92%, sabiendo que ingresan 100 estudiantes, que la nota media de acceso es de 80 puntos y que la desviación típica es 8,8 puntos.

c.- (3 puntos) Determine el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo del intervalo de confianza calculado en el apartado anterior se reduzca a la mitad (con los datos del apartado b.-).