Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $AX+3B=C$ esté planteada, siendo $A=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}$. Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$.

Una peña necesita recaudar fondos para combatir una plaga de termitas y ha decidido financiar parte del tratamiento mediante la venta de participaciones para el sorteo de Lotería del 22 de diciembre. Ofrecen tres tipos de participaciones: de $10$ €, de $25$ € y de $5$ €. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de $10$ € que de $25$ €; en total han recaudado $7\,100$ € y han vendido $430$ participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo. Con una ganancia de $2$$\text{,}50$ € por cada participación de $10$ €, de $5$ € por cada participación de $25$ € y de $1$ € por cada participación de $5$ €, ¿a cuánto asciende la ganancia total?

Plantee y resuelva un problema que permita determinar el número de unidades de cada tipo de producto que maximice la ganancia total y el cuánto ascendería dicha ganancia.

Considerando la región factible del apartado a) y una nueva función objetivo dada por $\max f(x,y)=30x+50y+k$, donde $k$ es un valor desconocido, razone que $(40,40)$ no puede ser la solución óptima del nuevo problema. Análogo para $(20,20)$.

Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ cuando $x\in[0,5]$ y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponden con extremos relativos y/o absolutos.

¿Tiene $f(x)$ algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de $f(x)$.

Calcule $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx$.

Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo.

Calcule $V'(t)$, justifique que $V(t)$ es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a) para argumentar que no será posible que el valor de $V(t)$ sea igual a $125$ €.

¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de $175$ €?

¿Cuál es la probabilidad de que Juan conteste correctamente las $2$ primeras preguntas?

Juan aprobará el examen si contesta correctamente, al menos, $2$ preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan apruebe el examen?

Si Juan ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya contestado correctamente las $4$ preguntas?

Calcule un intervalo de confianza a nivel del $95\,\%$ para la proporción de votantes a favor de Rupérez.

Rupérez afirma que obtendrá un $62\,\%$ de los votos. A la vista de los resultados del apartado a), ¿es razonable tal afirmación?

En caso de segunda vuelta, se realiza la votación. Rupérez gana con el $60\,\%$ de los votos. Si elegimos a $3$ votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos $1$ de ellos haya votado correctamente a Rupérez.