Responda a las siguientes cuestiones:
a.- (5 puntos) Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $AX+3B=C$ esté bien planteada, siendo $$A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\quad\text{y}\quad C=\begin{pmatrix}2 & 0 & 2\\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}.$$ Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$.
b.- (5 puntos) Un pueblo necesita recaudar fondos para combatir una plaga de termitas y han decidido financiar parte del tratamiento mediante la venta de participaciones para el sorteo de Lotería del 22 de diciembre. Ofrecen tres tipos de participaciones: de 10 euros, de 25 euros y de 5 euros. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de 10 euros que de 25 euros; en total, han recaudado 7.100 € y han vendido 430 participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo. Con una ganancia de 2,50 € por cada participación de 10 €, de 5 euros por cada participación de 25 € y de 1 € por cada participación de 5 €, ¿a cuánto asciende la ganancia total?

Una empresa produce dos productos, A y B, con ganancias de 30 € y 40 € por unidad producida, respectivamente. La producción de A requiere 3 horas de mano de obra y 2 unidades de material, mientras que la producción de B requiere 2 horas de mano de obra y 3 unidades de material. Los recursos disponibles son 150 horas de mano de obra y 150 unidades de material. Además, debido a requisitos de distribución, se establece que la producción total debe ser mayor o igual a 20 unidades entre ambos productos.
a.- (8 puntos) Plantee y resuelva un problema que permita determinar el número de unidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la ganancia total y a cuánto ascendería dicha ganancia.
b.- (2 puntos) Considerando la región factible del apartado a.- y una nueva función objetivo dada por: $\max\, f(x,y)=30x+by$, donde $b$ es un valor desconocido. Razone que $(40,40)$ no puede ser solución óptima del nuevo problema. Análogo con $(20,20)$.

Dada la función $f(x)=x^{3}-9x^{2}+40x+50,\;0\le x\le 8$.
a.- (4 puntos) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ cuando $x\in[0,8]$ y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos.
b.- (3 puntos) ¿$f(x)$ tiene algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de $f(x)$.
c.- (3 puntos) Calcule $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\,dx$.

La obsolescencia tecnológica implica una disminución del valor de un producto con el tiempo. En cierto dispositivo, el valor $V(t)>0$ viene dado por $$V(t)=200-\dfrac{100\,t}{10+2t}\;\text{€},$$ siendo $t$ los años transcurridos desde la compra del dispositivo.
a.- (3 puntos) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo.
b.- (4 puntos) Calcule $V'(t)$ y justifique que $V(t)$ es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a.- para argumentar que no será posible que el valor de $V(t)$ sea igual a $125$ €.
c.- (3 puntos) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de $175$ €?

Juan va a hacer un examen de Geografía que tiene 4 preguntas. Juan piensa que, en cada pregunta, la probabilidad que tiene de responderla correctamente es $0{,}7$ y que cada pregunta es independiente de las demás.
a.- (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan conteste correctamente todas las preguntas?
b.- (4 puntos) Juan aprobará el examen si contesta, al menos, 2 preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Juan de aprobar el examen?
c.- (3 puntos) Si Juan ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho contestando correctamente todas las preguntas?

En una ciudad se presentan dos personas a la alcaldía: Rupérez y García.
a.- (5 puntos) Se ha realizado una encuesta sobre la intención de voto, para lo cual se ha tomado una muestra aleatoria simple de 200 votantes y 120 de ellos van a votar a Rupérez, mientras que el resto votarán a García. Calcule un intervalo de confianza a nivel 98% para la proporción de votantes de la ciudad que votarán a Rupérez.
b.- (2 puntos) El periódico de la ciudad afirma que Rupérez obtendrá un 75% de los votos. A la vista de los resultados del apartado a.-, ¿es razonable tal afirmación?
c.- (3 puntos) Una vez realizada la votación, Rupérez ha ganado con el 62% de los votos. Si elegimos a 3 votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos 1 de ellos haya votado por Rupérez.