(10 puntos) Un agricultor siembra dos tipos de cultivos, maíz y trigo, con beneficios económicos de 800 € y 500 € por hectárea, respectivamente. Por cada hectárea, el maíz requiere 200 kg de fertilizante y el trigo requiere 300 kg de fertilizante. La disponibilidad total de fertilizante es de 6.000 kg. Además, el agricultor debe plantar al menos 10 hectáreas entre maíz y trigo, y la superficie de maíz no debe exceder a la superficie de trigo.

a.- (8 puntos) Plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita maximizar el beneficio.

b.- (2 puntos) Considerando la región factible definida en el apartado anterior y suponiendo que el beneficio por hectárea de maíz es de 800 € y el de trigo es de 1.200 €, justifique si $(3,18)$ podría ser una solución óptima del nuevo problema de optimización.

(10 puntos) La función

representa el beneficio mensual de una empresa, en miles de euros, en función del precio unitario (€), $x$, al que vende su producto.

a.- (4 puntos) Justifique si la función $B(x)$ es continua.

b.- (6 puntos) Calcule el precio unitario al que la empresa debe vender el producto para obtener el máximo beneficio e indique a cuánto asciende dicho valor.

(10 puntos) En la cafetería de un museo de arte contemporáneo, famosa por sus bebidas personalizadas y su ambiente artístico, los visitantes pueden elegir entre tres tipos de consumiciones preparadas de manera especial: café, té o bebida fría. Entre los jóvenes que frecuentan la cafetería, el 40% prefieren el café, el 35% eligen el té y el 25% optan por una bebida fría. Además, se sabe que, entre quienes prefieren el café, el 50% lo toman sin azúcar; entre quienes eligen el té, el 80% lo toman sin azúcar; y entre quienes prefieren una bebida fría, el 40% la toman sin azúcar.

a.- (4 puntos) Calcule la probabilidad de que un joven elegido al azar haya pedido una bebida fría sin azúcar.

b.- (6 puntos) Se selecciona un joven al azar y sabemos que ha pedido una consumición sin azúcar, calcule la probabilidad de que haya pedido una bebida fría.

(10 puntos) Elija entre Opción I y Opción II, respondiendo únicamente a una de las dos.

Opción I — Q1.- (5 puntos) Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $\;3AX - B = C\;$ esté bien planteada, siendo

Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$.

Opción I — Q2.- (5 puntos) Una finca está delimitada por un río cuyo curso puede describirse mediante la ecuación $\;y = (x-2)^2 + 1\;$ y por un camino que tiene como dirección la ecuación $\;y = 2x\;$ (véase la figura para mayor claridad). Suponiendo que tanto el eje $x$ como el eje $y$ se miden en kilómetros, calcule el área de la finca. Sabiendo que en la zona, la hectárea se paga a 3 000 €, calcule el precio de la finca.

Nota: $1$ km$^2$ = 100 hectáreas.

Opción II — Q1.- (5 puntos) Justifique la existencia (o ausencia) de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas para la función

En caso de que existan, indique sus respectivas ecuaciones.

Opción II — Q2.- (5 puntos) Una ONG de Aragón pretende organizar turnos de voluntarios para colaborar con los afectados de una catástrofe. Basándose en experiencias previas, estiman que el 25% de los aragoneses estarían interesados en participar. No obstante, para tener una estimación más precisa han decidido realizar una encuesta entre la población aragonesa. ¿Cuántas personas deben encuestar como mínimo para estimar la proporción de quienes estarían dispuestos a colaborar con la ONG, con un error máximo del 5% y con un nivel de confianza del 94%?