(10 puntos) Miguel quiere mejorar su rendimiento deportivo y ha decidido complementar su dieta con barritas de proteínas y carbohidratos. Puede elegir entre dos tipos de barritas: A y B. Cada barrita A cuesta 1 euro y 50 céntimos y aporta 20 gramos de proteínas y 10 gramos de carbohidratos. Cada barrita B cuesta 1 euro y 20 céntimos y aporta 10 gramos de proteínas y 15 gramos de carbohidratos. Para cumplir con su plan de entrenamiento, Miguel necesita consumir, al menos, 600 gramos de proteínas y, al menos, 620 gramos de carbohidratos. Además, no puede consumir más de 100 barritas en total.

a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cuántas barritas de cada tipo debe comprar Miguel para que, cumpliendo las restricciones, el coste sea mínimo.

b.- (7 puntos) Resuelva el problema anterior y determine a cuánto asciende dicho coste mínimo.

(10 puntos) Se ha lanzado al mercado la aplicación social ViviChat y el número de usuarios en la aplicación en el momento $t$ está dado por la función

donde $t$ se mide en cientos de días desde el lanzamiento.

a.- (3 puntos) Gracias a la campaña previa al lanzamiento, la aplicación ha logrado captar usuarios desde el inicio. Se considera que la campaña ha tenido éxito si el número de usuarios en el momento del lanzamiento ($t=0$) es de, al menos, 100 000. Determine si la campaña ha sido exitosa. Además, calcule cuántos usuarios tendrá la aplicación en un horizonte infinito de tiempo.

b.- (7 puntos) Suponiendo que $t \in [1,\,14]$, calcule el valor de $t$ en el que la aplicación alcanzará el máximo número de usuarios. ¿Cuántos usuarios tendrá la aplicación en ese momento?, y ¿cuántos días habrán transcurrido desde su lanzamiento?

(10 puntos) Una plataforma de streaming desea mejorar su catálogo de películas, para lo cual quiere conocer las preferencias de sus usuarios sobre las películas de Ciencia Ficción y de Comedia, dos de los géneros más populares entre sus suscriptores.

a.- (5 puntos) Con el fin de conocer las preferencias de sus usuarios, la plataforma ha realizado una encuesta entre una muestra aleatoria simple de 300 suscriptores. De estos, 210 han indicado que prefieren ver películas de Ciencia Ficción, mientras que el resto prefieren Comedia. Calcule un intervalo de confianza al 96% para la proporción de suscriptores que prefieren ver Ciencia Ficción.

b.- (5 puntos) La plataforma de streaming investiga si la edad de sus usuarios influye en sus preferencias por el género de Ciencia Ficción. Han descubierto que el 60% de sus usuarios son menores de 30 años y, dentro de este grupo, el 80% prefiere el género de Ciencia Ficción. En cambio, entre los usuarios de 30 años o más, solo el 50% tiene esta preferencia. La plataforma ha decidido premiar a uno de sus usuarios al azar con una suscripción gratuita por un año. Sabemos que el ganador prefiere ver películas de Ciencia Ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que este usuario tenga menos de 30 años?

(10 puntos) Elija entre Opción I y Opción II, respondiendo únicamente a una de las dos.

Opción I — Q1.- (5 puntos) Un estudio revela que los estudiantes de bachillerato pasan, en promedio, 3,5 horas haciendo fila para entrar a conciertos, con una desviación típica de 1,8 horas. Se selecciona una muestra aleatoria de 64 estudiantes de bachillerato que asisten esta tarde a un concierto, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de espera para esa muestra sea inferior a 4 horas?

Opción I — Q2.- (5 puntos) Dada la matriz

resuelva la ecuación matricial $\;AX + 2A = A^2\;$ despejando previamente $X$.

Opción II — Q1.- (5 puntos) Clasifique el sistema de ecuaciones $(S)$ utilizando el teorema de Rouché-Frobenius y, si es posible, calcule la solución.

Opción II — Q2.- (5 puntos) Dada $\;f(x) = \dfrac{x - \sqrt{6 - x}}{x - 2}$. Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$. ¿La función $f(x)$ tiene una asíntota vertical en $x = 2$? Justifique la respuesta basándose en el cálculo del límite.