Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Extraordinaria 2026

Una promotora organiza un festival con dos tipos de actuaciones: grupos internacionales y grupos locales. Cada grupo internacional emplea cuatro horas de actuación en escenario y dos horas para pruebas de sonido, mientras que cada grupo local emplea una hora de actuación en escenario y una hora de pruebas de sonido. En total, la organización dispone de veinticuatro horas de escenario y dieciocho horas de pruebas de sonido. La promotora pretende realizar al menos 6 actuaciones en total (internacionales y locales). La recaudación estimada es de ocho mil euros por cada grupo internacional y de tres mil euros por cada grupo local.

La promotora que organiza el festival ha estudiado datos de ediciones anteriores y ha construido un modelo matemático que aproxima el comportamiento de los compradores. Según este modelo, el número de entradas vendidas para un concierto $E(p)$, expresado en decenas, depende del precio $(p)$ en euros de la siguiente forma:$$E(p)=\frac{2.000\,p}{25+p^2}$$

La promotora del festival, antes de cerrar la contratación de los grupos que formarán parte del cartel, decide realizar una encuesta entre las personas que han reservado su sitio en el evento, con el objetivo de conocer a qué tipos de conciertos asistirán.

Elija únicamente dos opciones de las tres posibles Q1, Q2 y Q3.
Q1 (5 puntos) La promotora que organiza el festival está ajustando el presupuesto (en decenas de miles de euros) para la iluminación y el sonido de los conciertos. Estos cálculos se representan mediante una ecuación matricial de la forma $AX+B=C$, siendo $A=\begin{pmatrix}4&3\\5&4\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}4&-2\\1&0\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}$. La matriz $A$ representa la planificación inicial, $B$ es la matriz de ajustes adicionales, $C$ es la matriz de presupuesto final y $X$ es la matriz de gastos desconocidos. Resuelva la ecuación despejando previamente $X$.
Q2 (5 puntos) La promotora musical estudia la evolución de la función de beneficios netos (en miles de euros) del festival en función de un indicador $(x)$ que mide la intensidad de la campaña publicitaria $(x\in[0,3])$. Se propone el modelo $f(x)=2x^3+bx^2+cx+d$. Se sabe que sin campaña (intensidad nula) el beneficio es de 8.000 euros, cuando la campaña tiene intensidad 2 el beneficio es de 16.000 euros, y que además en $x=2$ la función tiene un punto crítico. Calcule los valores de $b$, $c$ y $d$, para que se satisfagan las condiciones del enunciado. Justifique si en $x=2$ la función tiene un máximo o un mínimo relativo.
Q3 (5 puntos) Para promocionar el festival se ofrecen tres tipos de tarifas: para estudiantes, para abonados y para el público general. El 30% usa la tarifa de estudiantes, el 50% la de abonados y el resto compra la entrada general. La probabilidad de que un asistente vuelva a otro concierto es del 6% en el caso de los estudiantes, del 80% para los abonados y del 70% para el público general. Si se seleccionan tres asistentes al azar con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que los tres vuelvan a otro concierto.

Tabla de la distribución normal (puede no ser necesaria para el examen):

NOTA: En la tabla figuran los valores de $P(Z\leq k)$ para una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Si no encuentra el valor en la tabla, elija el más próximo y en el caso de que las diferencias de los valores por exceso y por defecto sean iguales considere la media aritmética de los valores correspondientes.