Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Ordinaria 2026

Una librería organiza semanalmente sus pedidos en dos tipos de lotes: lotes de Novedades y lotes de Reposición. Cada lote de Novedades requiere 3 horas de trabajo en el departamento de recepción y 1 hora en el de etiquetado, mientras que cada lote de Reposición requiere 1 hora en recepción y 2 horas en etiquetado. Cada departamento dispone como máximo de 100 horas semanales para realizar cada una de estas tareas. La librería obtiene un beneficio de 500 euros por cada lote de Novedades y de 400 euros por cada lote de Reposición. Además, para garantizar una actividad comercial mínima, la librería se compromete a preparar al menos 40 lotes en total cada semana (sumando ambos tipos).

En la librería se ha observado que un aumento en el precio del libro en papel puede provocar un aumento de las descargas ilegales. Para estudiar este comportamiento, se considera la siguiente función:$$D(x)=-4x^3+36x^2+864x+400$$que aproxima el número de descargas ilegales en función del aumento de precio $(x)$ (en euros) sobre un precio base de 10 euros, con $2\leq x\leq15$.

La librería quiere obtener información para prever la demanda y planificar mejor los pedidos. Para ello se toma una muestra aleatoria simple de 100 clientes y se observa que 52 de ellos realizan compras online al menos una vez al mes.

Elija únicamente dos opciones de las tres posibles Q1, Q2 y Q3.
Q1 (5 puntos) Durante una semana en la librería se aplicó un descuento del 10% sobre el precio original de cada artículo. En esa semana, un cliente compró una novela, un cuaderno y una mochila, y pagó en total 117 euros después del descuento. Antes del descuento, el precio del cuaderno era la cuarta parte del precio de la novela y el precio de la mochila era el doble del precio de la novela. Determine el precio original de cada uno de los tres artículos.
Q2 (5 puntos) En la librería se ha estudiado el beneficio semanal (en cientos de euros) en función del tiempo $(x)$ (en días) transcurrido desde el inicio de una campaña promocional, y se ha modelizado por la función:$$B(x)=3x^2+ax+1$$Se sabe que el beneficio total acumulado durante los dos primeros días de la campaña ha sido de 3.000 euros, lo que se expresa mediante la condición:$$\int_0^2 B(x)dx=30$$Determine el valor del parámetro $a$.
Q3 (5 puntos) En la librería, durante una semana, se ofrecen tres promociones: descuento en novelas (A), descuento en manuales (B) y un vale para accesorios (C). De cada 1.000 clientes de la librería, 300 reciben la promoción A, el 50% recibe la promoción B y el resto recibe la promoción C. Se sabe, además, que la probabilidad de que un cliente realice una compra esa semana es 0,6 si ha recibido la promoción A. Por otro lado, se conoce que el 80% de los clientes que han recibido la promoción B y el 70% de los que han recibido la promoción C realizan una compra durante esa semana. Se elige al azar un cliente de la librería y se sabe que ha realizado una compra esa semana. Calcule la probabilidad de que dicho cliente hubiera recibido la promoción A.

Tabla de la distribución normal (puede no ser necesaria para el examen):

NOTA: En la tabla figuran los valores de $P(Z\leq k)$ para una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Si no encuentra el valor en la tabla, elija el más próximo y en el caso de que las diferencias de los valores por exceso y por defecto sean iguales considere la media aritmética de los valores correspondientes.