Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} m-1 & 0 \\ -2 & m \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$, $$C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ y $$D = \begin{pmatrix} 1-2m \\ -2m \end{pmatrix}$$.
a) [1 punto] Si $(A+B)\cdot C = B\cdot D$, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.
b) [1,5 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m = 2.

Una empresa puede contratar trabajadores de tipo A y trabajadores de tipo B en una nueva factoría. Por convenio, es necesario que haya mayor o igual número de trabajadores de tipo A que de tipo B y que el número de trabajadores de tipo A no supere al doble del número de trabajadores de tipo B. En total la empresa puede contratar un máximo de 30 trabajadores de tipo A y de 40 de tipo B.
a) [1,75 puntos] ¿Cuántos trabajadores de cada tipo se pueden contratar en la empresa, de forma que se satisfagan todos los requisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría contratarse a 20 trabajadores de tipo A y 15 de tipo B?
b) [0,75 puntos] Si el beneficio diario esperado para la empresa por cada trabajador de tipo A es de 240 euros y por cada trabajador de tipo B es de 200 euros, ¿cuántos trabajadores de cada tipo se deben contratar para maximizar el beneficio diario? ¿a cuánto asciende dicho beneficio máximo?

Según una compañía telefónica, el coste de la transferencia de datos se descompone en dos conceptos: un coste fijo de 25 céntimos de euro por transferencia realizada más un coste variable en función de los gigabytes transferidos. El coste variable asociado a los 2 primeros gigabytes en gratis, pero a partir de 2 gigabytes, pasa a tarifar los gigabytes restantes a 10 céntimos de euro por gigabyte.
a) [0,75 puntos] Si f(x) representa el coste total en céntimos de euro de una transferencia en función de la cantidad de gigabytes transferidos en la misma (x), obtén la expresión de dicha función f para cualquier valor positivo x. ¿Es el coste una función continua de la cantidad transferida?
b) [1,75 puntos] Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo (0,∞). Si el coste total de una transferencia ha sido de 2,25 euros, ¿cuántos gigabytes se han transferido? ¿Cuál es el coste mínimo de una transferencia cualquiera? ¿Y el coste máximo?

Dada la función $f(x) = \dfrac{6}{x+1} - 2$, se pide:
a) [0,5 puntos] Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) = 2.
b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función f en el intervalo [0,∞). Calcular el área limitada por la curva f y el eje X entre x = 0 y x = 3.

Se sortea un viaje a Japón entre los 240 mejores clientes de una agencia de viajes. De ellos, 144 son mujeres, 168 son personas con hijos y 90 son hombres con hijos.
a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre sin hijos?
b) [1,25 puntos] Si la persona a la que le toca el viaje tiene hijos, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

En un proceso de fabricación se sabe que el 2% de las piezas producidas son defectuosas. Se utiliza un dispositivo para detectarlas que califica como defectuosas al 90% de las piezas defectuosas, pero también califica como defectuosas a un 5% que no lo son.
a) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que el dispositivo califique una pieza cualquiera como defectuosa.
b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que no sea defectuosa una pieza que el dispositivo ha calificado como defectuosa.

Se supone que el precio de un determinado producto sigue aproximadamente una distribución normal con desviación típica 5 euros.
a) [1,5 puntos] Para estimar el precio medio, se considera una muestra aleatoria de 100 de estos productos, los cuales han costado en total 10.400 euros. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para el precio medio de ese producto, al 95% de confianza.
b) [1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero precio medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0,5 euros y un nivel de confianza del 95%?
Valores: $F(1{,}28)=0{,}90; F(1{,}64)=0{,}95; F(1{,}96)=0{,}975; F(2{,}33)=0{,}99; F(2{,}58)=0{,}995$.

En una ciudad se ha encuestado a 1.250 vecinos, de los cuales 525 han manifestado estar a favor de la gestión económica del ayuntamiento.
a) [1,5 puntos] Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la proporción de vecinos de esa ciudad que están a favor de la gestión económica del ayuntamiento, al 99% de confianza.
b) [1 punto] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese aumentado el tamaño de la muestra?
Valores: $F(1{,}28)=0{,}90; F(1{,}64)=0{,}95; F(1{,}96)=0{,}975; F(2{,}33)=0{,}99; F(2{,}58)=0{,}995$.