En una oficina se hicieron la semana pasada un total de 550 fotocopias entre fotocopias en blanco y negro y fotocopias en color. El coste total de dichas fotocopias fue de 3,5 euros, siendo el coste de cada fotocopia en blanco y negro de m céntimos de euro, y el coste de cada fotocopia en color cuatro veces el coste de una en blanco y negro.
a) [0,5 puntos] Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de fotocopias en blanco y negro y en color hechas la semana pasada.
b) [2 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? ¿Cuántas fotocopias en blanco y negro se realizaron en la oficina si cada fotocopia en color costó 2 céntimos?

En un local que se destinará a restaurante, se está pensando en poner mesas altas y bajas. Las mesas altas necesitan una superficie de 2 m² cada una, mientras que las mesas bajas necesitan una superficie de 4 m² cada una. El local dedicará a mesas como mucho una superficie de 120 m². El propietario quiere que haya al menos 5 mesas bajas y como mucho el doble de mesas altas que bajas.
a) [1,75 puntos] ¿Cuántas mesas puede haber en el restaurante de cada tipo? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podrá haber 15 mesas de cada tipo?
b) [0,75 puntos] Por estudios de mercado, se estima que el beneficio que dejan los clientes por mesa alta es de 20 euros, mientras que el beneficio por mesa baja es de 25 euros. ¿Cuántas mesas de cada tipo debe colocar para maximizar los beneficios estimados? ¿a cuánto ascenderían dichos beneficios?

Dada la función $f(x) = \dfrac{a}{x+1}$, se pide:
a) [0,5 puntos] Encontrar el valor de a que verifica que F(0) = 0 y F(1) = 10·ln(2), donde F denota una primitiva de f.
b) [2 puntos] Suponiendo que a = 10, estudiar y representar gráficamente la función f en todo su dominio y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = -3 y x = -2.

A la hora de estudiar la relación entre el beneficio mensual de una empresa y cantidad de producto fabricado, se representa por f(x) el beneficio mensual, en millones de euros, si se han fabricado x toneladas de producto ese mes. Si en un mes se fabrican como mucho 100 toneladas de producto, el beneficio mensual se puede considerar que es $\dfrac{1}{900}(-x^2+100x-1600)$ millones de euros, mientras que si se fabrican más de 100 toneladas de producto, el beneficio viene dado por $1-\dfrac{120}{x}$ millones de euros.
a) [1,75 puntos] Obtén la expresión de la función f. Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [0,∞).
b) [0,75 puntos] ¿Qué cantidad debe fabricar para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Qué cantidad hay que fabricar para que el beneficio sea positivo?

El 20% de los trabajadores de una empresa tiene estudios superiores y el 80% restante no los tiene. De los que tienen estudios superiores, el 6% fuma. Además se sabe que del total de los trabajadores, el 12% fuma.
a) [1,25 puntos] De los trabajadores que fuman, ¿qué porcentaje tiene estudios superiores?
b) [1,25 puntos] De los trabajadores que no tienen estudios superiores, ¿qué porcentaje fuma?

Una fábrica de tornillos utiliza en su fabricación el 60% de las veces la máquina A y el 40% restante la B. La máquina A produce un 5% de tornillos defectuosos y la B un 2,5%.
a) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que un tornillo, elegido al azar, sea defectuoso.
b) [1,25 puntos] Si un tornillo elegido al azar resulta defectuoso, calcula la probabilidad de que lo haya producido la máquina B.

Para estudiar la evolución del precio medio de un producto en determinada ciudad, se consideró una muestra aleatoria de 40 comercios de dicha ciudad y se obtuvo que el precio medio de dicho producto en la muestra era de 36 euros. Se supone que el precio de dicho producto se puede aproximar por una distribución normal con desviación típica 5,5 euros.
a) [1,5 puntos] Construye un intervalo de confianza para el precio medio de dicho producto en esa ciudad, al 90% de confianza.
b) [1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero precio medio en esa ciudad a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 1,5 euros y un nivel de confianza del 90%?
Valores: $F(1{,}28)=0{,}90; F(1{,}64)=0{,}95; F(1{,}96)=0{,}975; F(2{,}33)=0{,}99; F(2{,}58)=0{,}995$.

En una determinada comunidad autónoma se ha seleccionado una muestra aleatoria de 500 personas, de las que 190 leen el periódico habitualmente.
a) [1,5 puntos] Halla, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo para estimar la proporción de personas que leen el periódico habitualmente en esa comunidad autónoma.
b) [1 punto] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese disminuido el tamaño muestral?
Valores: $F(1{,}28)=0{,}90; F(1{,}64)=0{,}95; F(1{,}96)=0{,}975; F(2{,}33)=0{,}99; F(2{,}58)=0{,}995$.