Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Extraordinaria 2026

La audiencia (en miles de espectadores) que se registró durante un partido de fútbol se puede modelar mediante la función $f$, donde $x$ representa el minuto de juego (cada partido de fútbol se divide en dos partes, cada una de ellas dura 45 minutos): $$f(x)=\begin{cases}-\dfrac19x^2+10x+570&\text{si }0\leq x\leq45\\\dfrac15x^2-18x+1200&\text{si }45<x\leq90\end{cases}$$
a) ¿En qué minutos de la primera parte del partido aumentó la audiencia? (0.5 puntos)
b) ¿Disminuyó la audiencia en algún momento a lo largo de los 90 minutos de partido? (1 punto)
c) Argumenta si alguna o varias de las gráficas siguientes se corresponden con la audiencia de los últimos 45 minutos de partido (en las tres gráficas $x$ representa el tiempo en minutos e $y$ la audiencia en miles de espectadores)? (1 punto)
Descripción visual de las figuras del PDF: (A) curva creciente cóncava hacia arriba, desde aproximadamente 795 hasta 1200; (B) curva creciente cóncava hacia abajo; (C) curva creciente con forma de S y cambio de concavidad.

Una empresa olivarera considera que la cantidad (medida en kg/ha) de aceituna recolectada en un año se puede expresar como una función $(f)$ que depende de los litros de lluvia caídos durante ese año $(x)$. La expresión de $f$ es: $$f(x)=\begin{cases}\dfrac16(-x^2+730x-96\,000)&\text{si }250\leq x\leq450\\\dfrac{2x^2}{5}-390x+a&\text{si }450<x\leq480\end{cases}$$

Observa la siguiente secuencia de figuras:
La imagen original muestra marcos cuadrados de un cuadrado de grosor: la figura 1 tiene un exterior de $3\times3$ y hueco de $1\times1$; la figura 2, exterior de $4\times4$ y hueco de $2\times2$; la figura 3, exterior de $5\times5$ y hueco de $3\times3$.

Una empresa produce bicicletas $(x)$ y patinetes $(y)$. La empresa dispone diariamente de 700 kg de aluminio y 750 minutos en la línea de montaje. Para producir una bicicleta se necesitan procesar 20 kg de aluminio y se consumen 10 min en la línea de montaje; mientras que para un patinete se procesan 15 kg de aluminio y se consumen 20 min en la cadena de montaje. La empresa tiene que satisfacer un contrato que la obliga a entregar al menos 7 bicicletas más que patinetes.
a) Señala cuáles son los vértices que, en la figura que se muestra a continuación, definen la región factible para el problema que consiste en resolver ¿Cuántas bicicletas y patinetes puede producir la empresa en un día? (1 punto)
b) ¿Cambiaría el conjunto de posibles soluciones si cada patinete consumiera 10 minutos de montaje, en lugar de 20? Explica tu respuesta. (0.5 puntos)
c) Si por cada bicicleta la empresa tiene una ganancia marginal de 4 € y por cada patinete gana 3 €, ¿cuántas bicicletas y patinetes debe producir al día para maximizar la ganancia? (1 punto)
Descripción visual de las figuras del PDF: $A=(11,32)$, $B=(23,16)$, $C=(29.67,22.67)$, $D=(7,0)$, $E=(0,37.5)$, $F=(0,0)$, $G=(75,0)$, $H=(35,0)$ e $I=(0,46.67)$.

Las variables $x$ e $y$ representan los fondos (en millones de euros) que un ayuntamiento va a dedicar, respectivamente, a créditos para autónomos y a ayudas a polígonos industriales. Las normas de gasto imponen algunas restricciones, que se pueden modelar con el siguiente sistema de ecuaciones ($k$ es un parámetro que depende del crecimiento económico): $$\begin{cases}3x+4y=24\\5x-ky=12\end{cases}$$

Dado el parámetro $m$ y las matrices siguientes: $$A=\begin{pmatrix}-2&m\\4&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&3/2\\2&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-2&m\\2&m+6\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\text{ y }E=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}.$$

En una asignatura que cursan conjuntamente estudiantes de las especialidades A y B de cierta carrera, el 60 % del alumnado es de la especialidad A y el resto de la B. El porcentaje de suspensos sobre el conjunto del alumnado es del 30 %, mientras que si consideramos solo el alumnado de la especialidad A, este porcentaje sube al 40 %.

En una encuesta sobre hábitos de vida saludables en Asturias, se observa que el 60 % de la población practica senderismo. De este grupo, el 20 % utiliza aplicaciones digitales de salud, mientras que solo el 5 % de quienes no practican senderismo usa estas aplicaciones.

Se desea estimar el gasto medio por turista en las zonas rurales de Asturias durante el verano, para lo que se selecciona una muestra aleatoria de 200 turistas. Se puede suponer que el gasto por turista sigue una distribución normal, con desviación típica de 15 €. Los siguientes son tres intervalos con diferentes niveles de confianza obtenidos a partir de la información de la muestra: $$(A)\ (82.921,87.079)\qquad(B)\ (83.642,86.358)\qquad(C)\ (82.529,87.471)$$

Para valorar una nueva propuesta de movilidad sostenible en el área central de Asturias, se encarga un sondeo de opinión realizado sobre 500 personas seleccionadas al azar. A partir del sondeo, se estima la proporción de población a favor de la propuesta mediante un intervalo al 95 %: $(0.52,0.60)$.