Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Extraordinaria 2026

En una regió, la probabilitat que un dia determinat s’iniciï un incendi forestal depèn de l’estació de l’any: cada dia durant l’estiu aquesta probabilitat és de 0.09, a la tardor és de 0.05, a l’hivern és de 0.02, i a la primavera és de 0.08. Escollirem un dia a l’atzar i suposarem que la probabilitat que l’estació de l’any sigui una o una altra és la mateixa.

En un estudi es va suggerir que el temps que cada jove d’una població dedica al dia a les xarxes socials segueix una distribució normal, de mitjana 116 minuts i desviació típica 42 minuts.

En una sala d’operacions podem dur a terme dos tipus d’operacions:
– Tipus A: Necessita 4 apòsits, 2 catèters, i té una durada de 0.5 hores.
– Tipus B: Necessita 6 apòsits, 1 catèter, i té una durada d’1 hora.
Necessitam fer almenys 10 operacions en total, i disposam només de 60 apòsits i 26 catèters. Quantes operacions de cada tipus hem de fer per maximitzar les hores d’ús de la sala d’operacions? (3 pt)

Per a qualsevol valor del paràmetre $x$ podem trobar tres matrius, $A$, $B$, $C$, de mida $3\times3$, de manera que sempre se satisfan les igualtats següents: $$A=\begin{pmatrix}0&4&2\\-2&x&x\\0&6&2\end{pmatrix},\qquad A\cdot B=\mathrm{Id},\qquad B\cdot(C+C)=\mathrm{Id}.$$

L’alçada mitjana a Espanya s’ha incrementat els darrers 200 anys per factors com l’alimentació i la salut. Fa 200 anys, l’alçada mitjana a Espanya era de 157 cm. Actualment és de 169 cm. Aproximarem l’alçada mitjana a Espanya amb la funció $f(t)$, en cm, següent: $$f(t)=169+t\cdot m,$$ on $m$ és una constant desconeguda i $t$ és la variable que indica els anys que han passat des d’avui en dia. És a dir, $f(0)$ representa l’alçada mitjana avui en dia, i $f(-200)$ representa l’alçada mitjana fa 200 anys.

Considera la funció $f(x)=\ln(2x)$, per a $x\in(0,+\infty)$.