Examen resuelto de Matemáticas CCSS — Ordinaria 2020

Una fabrica de juguetes artesanales produce camiones, marionetas y rompecabezas de madera. Para fabricar un camion necesita dos kilos de madera y tres horas de trabajo, mientras que para una marioneta necesita quinientos gramos de madera y cuatro horas de trabajo. En el caso de los rompecabezas necesita ochocientos gramos de madera y tres horas y media de trabajo para producir uno. Durante una semana, la empresa ha puesto en el mercado 89 juguetes utilizando exactamente 91 kilos de madera y 313 horas de trabajo. Determina el número de camiones, de marionetas y de rompecabezas producidos.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, se pide:
a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asintotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los maximos y minimos locales. (2 puntos)
e) La representacion grafica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (2 puntos)

De dos sucesos A y B se sabe que satisfacen que $P(A) = 0{,}4$, $P(A \cup B) = 0{,}8$ y $P(A^c \cup B^c) = 0{,}7$, donde $A^c$ y $B^c$ representan los sucesos complementarios de los sucesos A y B, respectivamente. Se pide:
a) Son independientes los sucesos A y B? (2,5 puntos)
b) La probabilidad de que solo se verifique uno de los sucesos. (2,5 puntos)
c) La probabilidad de que se verifique el suceso $B^c$. (2,5 puntos)
d) La probabilidad de que se verifique el suceso $A^c / B$. (2,5 puntos)

Dadas las matrices
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$,
se pide:
a) Calcula $(AB)^{-1}$. (4 puntos)
b) Calcula $C + AB$. (2 puntos)
c) Son iguales las matrices $C^{-1} + (AB)^{-1}$ y $(C + AB)^{-1}$? (4 puntos)

Una tienda de alquiler de bicicletas dispone mensualmente de 350 bicicletas. Haciendo un estudio entre los ingresos y los costes de explotacion se ha determinado que los beneficios mensuales, en euros, se ajustan a la función
$f(x) = 350x - x^2 - 15000$,
siendo $x$ el número de bicicletas alquiladas en un mes.
a) Calcula el número de bicicletas que hay que alquilar cada mes para obtener un beneficio maximo. (3 puntos)
b) Cual es dicho beneficio maximo? (2 puntos)
c) Determina a partir de que cantidad de bicicletas alquiladas el taller obtiene beneficios. (2,5 puntos)
d) Puede tener perdidas a pesar de alquilar una cantidad mayor de bicicletas que la obtenida en el apartado anterior? (2,5 puntos)

En una determinada ciudad, se sabe que el 80% de los hogares estan formados por mas de una persona. Se sabe también que el 30% de los hogares de esa ciudad estan suscritos al canal Panoramix. Por ultimo, se sabe que el 20% de los hogares estan formados por mas de una persona y estan suscritos al canal Panoramix. Seleccionamos al azar un hogar de esta ciudad.
a) Calcula la probabilidad de que el hogar seleccionado no este suscrito al canal Panoramix.
b) Calcula la probabilidad de que el hogar seleccionado este formado por una unica persona y también este suscrito al canal Panoramix.
c) Si sabemos que el hogar seleccionado esta formado por una unica persona, cual es la probabilidad de que este suscrito al canal Panoramix?
d) Si sabemos que el hogar seleccionado esta suscrito al canal Panoramix, cual es la probabilidad de que este formado por mas de una persona?