Una empresa está especializada en la preparación de mezclas de café. Utilizando café colombiano, brasileño y keniata, la empresa quiere comercializar paquetes de 1 kg con un coste de 8,50 € el paquete. El precio de un kilo de cada clase de café es, respectivamente, de 10 €, 6 € y 8 €. Sabiendo que la cantidad de café colombiano de la mezcla ha de ser el triple de la de café brasileño, calcula el porcentaje de cada tipo de café que ha de utilizarse en la mezcla. (Planteamiento correcto 5 puntos - Solución correcta 5 puntos).

Consideramos las matrices $$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 3\\ 4 & 3 & 1\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix}5 & 0 & 1\\ 3 & 2 & 2\end{pmatrix}$$. a) Calcula la inversa de la matriz $A-B$ (3 pts). b) Calcula la matriz $X$ de dimensión $2\times 3$ que satisface la ecuación $XA+C=XB$ (4 pts). c) ¿Es posible hacer el producto $BC$? Si la respuesta es afirmativa calcúlalo; en caso contrario, justifícalo. ¿Es posible hacer el producto $CB$? Si la respuesta es afirmativa calcúlalo; en caso contrario, justifícalo (3 pts).

Dada la función $f(x)=\dfrac{x^2-36}{x^2-2x-8}$, se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados (2 pts). b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen (2 pts). c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento (2 pts). d) Los máximos y mínimos locales (2 pts). e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados de los apartados anteriores (2 pts).

Una empresa ha estimado que los ingresos y gastos mensuales (en euros) que genera la fabricación de $x$ unidades de un producto vienen dados por $I(x)=4x^2+800x$ y $G(x)=6x^2+460x+672$. a) La empresa considera rentable el producto si el beneficio es mayor o igual que 0. ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe fabricar para que el producto sea rentable? (4 pts). b) ¿Cuál es el número de unidades que debe fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es el beneficio en ese caso? (3 pts). c) Próximamente una nueva normativa obligará a fabricar al menos 100 unidades. ¿Cuál es el máximo beneficio posible tras la normativa? Justifícalo (3 pts).

En un sorteo, un jugador extrae dos bolas sin reemplazamiento de una urna que contiene 2 bolas blancas, 3 bolas amarillas y 5 bolas negras. El jugador consigue el primer premio si las dos bolas extraídas son blancas, consigue el segundo premio si las dos bolas extraídas son amarillas y consigue el tercer premio si una de las dos bolas extraídas es blanca y la otra no lo es. No hay más premios en el sorteo. a) Calcula la probabilidad de que el jugador consiga el primer o el segundo premio (4 pts). b) Calcula la probabilidad de que consiga el tercer premio (3 pts). c) Si un jugador nos dice que ha obtenido premio en el sorteo, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido el tercer premio? (3 pts).

Una determinada enfermedad afecta actualmente al 5% de la población. El único test disponible tiene una probabilidad del 99% de clasificar correctamente a los enfermos (positivo si está enfermo), y la probabilidad de que el test dé negativo si la persona no está enferma es del 95%. Se pide: a) La probabilidad de que una persona esté enferma si ha dado positivo (2,5 pts). b) La probabilidad de que esté sana si ha dado negativo (2,5 pts). c) La probabilidad de que el test dé el resultado correcto (2,5 pts). d) Si la enfermedad afecta únicamente al 1% de la población, ¿cuál es la probabilidad de que una persona esté enferma si ha dado positivo? (2,5 pts).