Examen resuelto de Matemáticas CCSS — Extraordinaria 2024

Una fabrica vende diariamente dos modelos de boligrafos de color verde. El modelo sencillo requiere una unidad de tinta y otra de plastico para su fabricacion, el mas sofisticado requiere una unidad de tinta y una y media de plastico. Dispone de 2 500 unidades de tinta y de 3 000 de plastico, y además se sabe que no se pueden fabricar mas de 2 000 unidades de boligrafos sencillos. Por cada boligrafo sencillo la empresa gana 0,5 euros y por cada uno de los sofisticados 0,7 euros.

Consideramos las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$.
a) Analiza si la matriz $AB - 2I$ es invertible, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. (3 puntos)
b) Determina la matriz $X$ que es solución de la ecuacion $A + 2XC = B^t$, siendo $B^t$ la traspuesta de la matriz $B$. (4 puntos)
c) Calcula para que valores de $z$ la matriz $$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & z \end{pmatrix}$$ cumple la condicion $CD = DC$. (3 puntos)

Se considera la función $f(x) = \frac{1}{(3x^2-1)^2}$. Se pide:
a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asintotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los maximos y minimos locales, si existen. (2 puntos)
e) La representacion grafica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

Un agricultor estima que si aplica $x$ kilos de abono en un terreno, sus ingresos seran $-x^2 + 60x + 100$ euros.
a) Que cantidad de abono maximiza sus ingresos? Cuales son estos ingresos maximos? (3 puntos)
b) Si el coste del abono es de 12 euros por kilo, que cantidad de abono maximiza sus beneficios?; cuales son estos beneficios maximos? (4 puntos)
c) Que cantidades de abono garantizan beneficios positivos? (3 puntos)

Un instituto tiene estudiantes de ESO y de Bachillerato. El instituto ofrece tres extraescolares: dos deportivas (futbol y baloncesto) y una no deportiva (musica); todos los estudiantes tienen que escoger una extraescolar, pero solo una. El instituto tiene en total 400 estudiantes, y 300 de ellos han escogido futbol. El instituto tiene 310 estudiantes de ESO; de ellos, 230 han escogido futbol y 60 han escogido baloncesto. Se sabe también que 8 estudiantes de Bachillerato han escogido musica. Seleccionamos al azar un estudiante de este instituto.
a) Calcula la probabilidad de la union de los sucesos "el estudiante esta en ESO" y "el estudiante ha escogido musica". (3 puntos)
b) Si sabemos que el estudiante seleccionado ha escogido una extraescolar deportiva, cual es la probabilidad de que este en ESO? (4 puntos)
c) Son independientes los sucesos "el estudiante esta en Bachillerato" y "el estudiante no ha escogido baloncesto"? (3 puntos)

Una empresa de vacunas para ganado bovino esta evaluando la efectividad de dos metodos distintos, A y B, para administrar una vacuna contra virus que afectan al aparato respiratorio. En el estudio, de las 600 reses de una explotacion ganadera, 250 fueron vacunadas por el metodo A, otras 250 por el metodo B y el resto no fueron vacunadas. Se observo que en los cuatro meses siguientes tuvieron problemas respiratorios el 30% de las reses vacunadas por el metodo A, el 20% de las vacunadas por el metodo B y el 60% de las no vacunadas. Calcula:
a) La probabilidad de que una res elegida al azar haya tenido problemas respiratorios. (3 puntos)
b) La probabilidad de que una res que no ha tenido problemas respiratorios haya sido vacunada por el metodo B. (4 puntos)
c) La probabilidad de la interseccion de los sucesos "la res no ha sido vacunada" y "la res tiene problemas respiratorios". (3 puntos)