Una agencia de viajes organiza excursiones a la montana y a la playa. La agencia obtiene 700 euros de beneficio por cada excursion a la montana y 500 euros por cada excursion a la playa. La agencia dispone de un total de 10 autobuses y 8 guias turisticos para las excursiones. Cada excursion a la montana requiere 2 autobuses y 2 guias, mientras que cada excursion a la playa requiere 2 autobuses y 1 guia.
a) Cuantas excursiones a la montana y cuantas a la playa tiene que organizar la agencia para obtener el maximo beneficio posible? (3 puntos)
b) Cual es dicho beneficio maximo? (0,5 puntos)

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$.
a) Determina la matriz $X$ que es solucion de la ecuacion $2XA + B^tC = I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3 y $B^t$ la traspuesta de la matriz $B$. (2,5 puntos)
b) Consideremos la matriz $$D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & z \end{pmatrix}$$. Calcula para que valores de $z$ la matriz $AD$ es diagonal. (1 punto)

Una empresa que fabrica neumaticos para coches ha estudiado su desgaste, medido en una escala de 0 a 1, en funcion del tiempo de uso. La empresa fabrica dos tipos de neumaticos: A y B. Para un neumatico A, su desgaste $D_A$ tras $x$ meses de uso, para $x$ entre 0 y 50, viene dado por la funcion $D_A(x) = \frac{1}{100} + \frac{29x}{3000}$. Por su parte, el desgaste $D_B$ para un neumatico B tras $x$ meses de uso, para $x$ entre 0 y 50, viene dado por la funcion $D_B(x) = \frac{x^2}{3000}$.
a) Determina el numero de meses para el cual el desgaste es el mismo para los dos tipos de neumaticos. (1 punto)
b) Determina para que intervalo de meses el desgaste es menor para el neumatico A y para que intervalo de meses el desgaste es menor para el B. (1 punto)
c) Calcula el area comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el neumatico A, y calcula el area comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el B. (1,5 puntos)

Se considera la funcion:
$$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1 + x^2}{x(2x + 4) + 2}$$
a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)
b) Las asintotas horizontales y verticales, si existen. (0,5 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los maximos y minimos locales, si existen. (2 puntos)
d) La representacion grafica de la funcion a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)

Una ciudad esta implementando un programa de sostenibilidad ambiental. Como parte de este programa, los residentes tienen la opcion de participar en dos actividades: limpieza de parques y plantacion de arboles. Para evaluar el impacto de esta iniciativa, se realizo una encuesta a 2.000 ciudadanos, de los cuales 800 participaron en la limpieza de parques, 1.400 en la plantacion de arboles, 300 en las dos actividades y 100 en ninguna de ellas. Seleccionamos al azar a uno de estos ciudadanos.
a) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en al menos una de las dos actividades. (0,75 puntos)
b) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en limpieza de parques, pero no en plantacion de arboles. (0,75 puntos)
c) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en exactamente una de las dos actividades. (0,75 puntos)
d) Si el ciudadano seleccionado no ha participado en la plantacion de arboles, calcula la probabilidad de que tampoco haya participado en la limpieza de parques. (0,75 puntos)