Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Ordinaria 2025

El precio de alquiler, PA, de pisos de dos habitaciones de una gran ciudad sigue una distribución normal.
a) Si, para una muestra de 400 pisos de dos habitaciones, con una confianza del 99 %, se ha obtenido [1174,25; 1225,75] como el intervalo para la media de PA, ¿cuál es la desviación típica de PA? (0,75 puntos)
b) Si los gastos de gestión representan el 10% del precio de alquiler, usando los datos del apartado anterior, ¿cuál sería el correspondiente intervalo de confianza, al 90%, para la media de dichos gastos de gestión? (1 punto)
c) Usando la media muestral y la desviación típica obtenidas en a), ¿cuál es la probabilidad de que, para una muestra de 25 pisos de dos habitaciones de la referida ciudad, el precio medio de alquiler sea mayor o igual que 1250 euros? (0,75 puntos)

Una cadena de supermercados envasa al vacío tres tipos de queso, en las siguientes proporciones: fresco (45%), semicurado (30%) y curado (25%). Parte del queso que recibe es de importación, concretamente, el 15% del queso fresco, el 23% del semicurado y el 40% del curado.
a) Representar, mediante un árbol de probabilidades, la situación descrita. (0,5 puntos)
b) Se elige al azar un paquete de queso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de importación? (1 punto)
c) Si el queso elegido es de importación, ¿qué probabilidad tiene de ser curado? (1 punto)

En una cafetería se pretende implementar una aplicación móvil que permita a los clientes escanear un código QR para realizar pedidos. Se encuestó a una muestra aleatoria de 210 clientes, de los cuales 140 consideraron que el sistema ayudaría a reducir el tiempo de espera.
a) Determinar un intervalo de confianza, al 98%, para estimar la proporción de clientes que opinan que esta aplicación permitiría reducir los tiempos de espera. ¿Cuál sería el error máximo en la estimación? (1 punto)
b) Si se quisiese estimar la proporción con un error inferior al 4% y un nivel de confianza del 96%, ¿a cuántos clientes, como mínimo, se debería preguntar usando como estimación inicial la proporción anterior? (1 punto)
c) De la muestra inicial se seleccionan 9 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que entre esos 9 haya al menos 2 que consideran que la aplicación no reducirá el tiempo de espera? (0,5 puntos)

Un psicólogo ha colocado electrodos a un ratón para evaluar su actividad cerebral (microvoltios $\mu V$) durante 12 horas. La actividad registrada se ajusta a:
\f(t)=\\begin{cases}24t^{2}-96t+736, & 0\\le t<4 \\\\ t^{3}-30t^{2}+288t, & 4\\le t\\le 12\\end{cases}\
a) Estudiar la continuidad de $f(t)$. ¿Es derivable en $t=4$? (0,75 puntos)
b) Estudiar crecimiento y decrecimiento. ¿Cuándo alcanzó el mínimo y máximo y cuáles fueron? (1 punto)
c) Representar gráficamente. ¿Cuál es la actividad en $t=6$? ¿En qué instantes anteriores fue exactamente 200 $\mu V$ menor? (0,75 puntos)

En una plaza hay una superficie limitada por las curvas $y = 3x^{2} - 5x + 3$ y $y = x + 3$, con $x$ en metros.
a) Representar la superficie destinada al jardín. (0,75 puntos)
b) ¿Cuánto mide dicha superficie? (1 punto)
c) Coste total del recubrimiento con césped artificial (25,99 €/m²), material adicional (18 €/m²) y mano de obra (20 €/m²), con impuestos del 7% sobre césped y materiales y del 4% sobre la mano de obra. (0,75 puntos)

El Ayuntamiento dispone de 4000 € para ampliar el almacenamiento del centro de datos (700 ordenadores). Discos SATA: 9,6 Tb, 200 €/u, sirven a 100 ordenadores. Discos SSD: 1,2 Tb, 100 €/u, sirven a 50 ordenadores. Se exigen al menos 30 discos en total y al menos uno de cada tipo.
a) Formular el programa lineal. (1 punto)
b) Representar la región factible y dar sus vértices. (0,75 puntos)
c) Determinar cuántos discos de cada tipo para máxima capacidad y la capacidad media por ordenador. (0,75 puntos)

Los huéspedes de un hotel eligen entre Solo Alojamiento (SA), Alojamiento y Desayuno (AD) y Todo Incluido (TI). El número en TI es el doble que en SA. Por cada 3 clientes en SA hay 2 en AD. Si se marcharan 39 clientes de TI, la suma de SA y AD sería igual a los que quedan en TI.
a) Plantear el sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)
b) ¿Cuántos clientes hay en cada régimen? (1 punto)