Una empresa de jardinería necesita adquirir $300$ kg de tierra, $200$ kg de piedras decorativas y $100$ kg de semillas para completar un proyecto de diseño de jardines. Al comparar precios entre dos proveedores, $A$ y $B$, obtiene las siguientes ofertas: el proveedor $A$ le ofrece un precio total de $13\,000$ €. El proveedor $B$, que está ofreciendo descuentos por renovación de inventario, reduce el precio de la tierra a un tercio del ofrecido por el proveedor $A$, el de las piedras decorativas a la mitad, y el de las semillas a un quinto, resultando en un ahorro de $8\,800$ € respecto al precio total ofrecido por el proveedor $A$. Además, se sabe que para el proveedor $A$ el precio por kg de semillas es dos veces la suma de los precios por kg de tierra y piedras decorativas.
A) Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio por kilogramo de la tierra, las piedras decorativas y las semillas en el proveedor $A$.
B) Analice la compatibilidad de dicho sistema.
C) Resuélvalo.

La editorial «EcoReads» planea lanzar dos colecciones: guías prácticas sobre sostenibilidad (beneficio $5$ €/ejemplar) y libros de cocina vegetariana (beneficio $4$ €/ejemplar). Cada guía requiere $60$ g de papel reciclado y $20$ g de papel de bambú; cada libro de cocina requiere $70$ g de papel reciclado y $10$ g de papel de bambú. Disponibilidad: $4\,000$ g de papel reciclado y $800$ g de papel de bambú. Además, deben publicarse al menos $10$ libros de cocina vegetariana.
A) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones.
B) Dibuje la región factible y calcule sus vértices.
C) ¿Cuántos ejemplares de cada colección maximizan el beneficio?
D) ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

Dada la función
$$f(x) = \begin{cases} ax + 2, & \text{si } x \leq -1 \\ x^2 - 3x + 5, & \text{si } -1 < x \leq 3 \\ \dfrac{x - b}{x^2 + 1}, & \text{si } x > 3 \end{cases}$$
A) Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales la función es continua en todo su dominio.
B) Calcule la integral definida $I = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx$.

Dada la función $f(x) = \dfrac{2x^2 + 4x + 2}{x - 2}$:
A) Obtenga los puntos de corte con los ejes $OX$ y $OY$.
B) Identifique las asíntotas de la función.
C) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Un profesor ha determinado que el tiempo que sus estudiantes tardan en completar un examen sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 10$ minutos. A partir de una muestra de $n = 100$ estudiantes seleccionados al azar, se calcula que el tiempo medio es $\bar{x} = 90$ minutos.
A) Calcule el intervalo de confianza del $93\,\%$ para el tiempo medio.
B) ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio, con un nivel de confianza del $97\,\%$, sea de $2$ minutos?

En un instituto, $45\,\%$ de los estudiantes practican deporte ($D$), $30\,\%$ participan en actividades artísticas ($A$) y $25\,\%$ en voluntariado ($V$). Además, el $60\,\%$ de los que practican deportes, el $40\,\%$ de los artistas y el $20\,\%$ de los voluntarios son miembros del consejo estudiantil ($C$). Se escoge un estudiante al azar.
A) $P(D\cap C)$.
B) $P(A\cap \bar{C})$.
C) $P(C)$.
D) $P(V\mid \bar{C})$.