Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Ordinaria 2021

SECCIÓN 1 (3 puntos) — BLOQUE 1

Ejercicio 1. Una carpintería ofrece tres modelos de mesas cuyo precio varía en función del tipo de madera utilizada y lo clasifica en: gama baja, media y superior. El precio de la mesa de gama superior es el mismo que de las otras dos juntas. Vendiendo 50 mesas de gama media se obtiene el mismo dinero que con 30 de la superior y por la venta de 5 mesas de gama baja, 5 de media y 10 de gama superior se obtienen 7500 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada modelo de mesa. (1 punto)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

Ejercicio 2. En un terreno se dispone de 18 hectáreas para sembrar aguacates y mangos. Para los aguacates deseamos destinar como mucho 16 hectáreas. Por cada hectárea sembrada de aguacates y mangos se obtiene 10.000 y 12.000 euros respectivamente. Se quiere que la superficie correspondiente a los mangos no sea mayor que la que ocupen los aguacates.

a) Expresa la función objetivo. (0.25 puntos)
b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto)
c) Determina cuántas hectáreas de cada tipo se debe dedicar a cada producto para conseguir máximo beneficio. (0.25 puntos)

SECCIÓN 1 (3 puntos) — BLOQUE 2

Ejercicio 1. Se considera la función
$$f(x)=\begin{cases} x+3+t & \text{si } x<1 \\ 3 & \text{si } x=1 \\ (x-3)^2+t & \text{si } x>1 \end{cases}$$
a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=1$? (0.5 puntos)
b) Para $t=0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1,+\infty)$. (0.5 puntos)
c) Para $t=0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1,+\infty)$. (0.5 puntos)

Ejercicio 2. La función $f(x)=ax^2+bx+c$ tiene un máximo en el punto $(0,-3)$ y la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa $x=-1$ es $6$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1.5 puntos)

SECCIÓN 2 (3.5 puntos) — BLOQUE 1

Ejercicio 3. El consumo por persona y semana de azúcar en España sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma=60$ gramos. Se hizo un estudio y se observó que la media de consumo por semana de $50$ personas fue de $200$ gramos. Se pide:

a) Calcula el intervalo de confianza del $95\%$ para el consumo medio por persona y semana de azúcar. (1 punto)
b) Razona cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5 puntos)
c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ de consumo por persona y semana de azúcar es $220$ gramos con una probabilidad del $90\%$? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

Ejercicio 4. De $100$ alumnos que han terminado una titulación $6$ no han encontrado trabajo el primer año.

a) Calcula la proporción de alumnos que han encontrado trabajo el primer año. (0.25 puntos)
b) Calcula la probabilidad de que si elegimos tres alumnos sin repetición, ninguno haya encontrado trabajo el primer año. (0.5 puntos)
c) Si elegimos tres alumnos al azar sin repetición y el primero no ha encontrado trabajo el primer año, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo y el tercero tampoco hayan encontrado trabajo el primer año? (0.75 puntos)

SECCIÓN 2 (3.5 puntos) — BLOQUE 2

Ejercicio 3. Se considera la función
$$f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{si } x<0 \\ t & \text{si } x=0 \\ (x-2)^2 & \text{si } x>0 \end{cases}$$
a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x=0$. (0.5 puntos)
b) Para $t=2$, representa gráficamente la función $f(x)$. (1 punto)

Ejercicio 4. En un local se venden pizzas en porciones. Las ventas durante cuatro semanas consecutivas siguen la función:
$$P(t)=-40t^2+240t+540,\quad 1\le t\le 4,$$
con $t$ = semanas.

a) ¿Cuántas porciones han vendido durante las dos primeras semanas? (0.5 puntos)
b) ¿Durante qué semana se vendieron más porciones y cuántas fueron? (0.75 puntos)
c) ¿Qué semana vendieron menos? ¿Cuántas porciones? (0.75 puntos)

SECCIÓN 3 (3.5 puntos) — BLOQUE 1

Ejercicio 5. Dadas las matrices
$$A=\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -1/2 & 3 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} -6 & 3 \end{pmatrix}.$$
a) Calcula $A\cdot C+D^{T}$. (0.5 puntos)
b) Razona si $A$ y $B$ tienen matriz inversa (no es necesario calcularlas). (0.5 puntos)
c) ¿Qué dimensiones tienen las matrices resultantes de los productos $D\cdot C$ y $D^{T}\cdot C^{T}$? (no es necesario hacer las multiplicaciones). (0.5 puntos)

Ejercicio 6. En un concesionario de motos disponen de $100$ motos dispuestas para su venta. Las motos son de tres tipos: las que consumen gasolina únicamente, las que usan gasolina y aceite y las eléctricas. Las más numerosas son las que usan gasolina y aceite, y la diferencia entre la cantidad de estas y las de gasolina es igual a la mitad del número de eléctricas. La diferencia entre las de gasolina y las eléctricas es igual a la tercera parte de las que utilizan gasolina y aceite.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas motos hay de cada tipo. (1.5 puntos)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

SECCIÓN 3 (3.5 puntos) — BLOQUE 2

Ejercicio 5. Según los datos de $2020$, en la universidad española hay un porcentaje de $24{,}8\%$ de mujeres estudiando Grados de Informática, el resto son hombres. Además una mujer tiene una probabilidad de $0{,}95$ de terminar Informática, mientras que para los hombres es del $0{,}85$.

a) Elegido un estudiante al azar de Informática, ¿cuál es la probabilidad de que consiga terminar la titulación? (0.75 puntos)
b) Sabiendo que un estudiante elegido al azar ha terminado Informática, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (0.75 puntos)

Ejercicio 6. Se desea investigar la altura en cm de un tipo de planta; se sabe que la altura sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=15$ cm. Se tomó una muestra aleatoria de $400$ plantas de ese tipo y se comprobó que la altura media de dicha muestra era de $110$ cm.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la altura de ese tipo de planta, con un nivel de confianza del $95\%$. (1 punto)
b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (0.5 puntos)
c) ¿Se puede admitir que la media de altura $\mu$ de ese tipo de planta pueda ser de $109$ cm con una confianza del $95\%$? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)