Examen resuelto de Matemáticas CCSS — Extraordinaria 2025

Una empresa envasa zumos en botellas de 1 litro. La cantidad de zumo que la maquina embotelladora inyecta en cada botella sigue una distribucion normal con una desviacion tipica $\sigma=0{,}05$ litros. Se toma una muestra aleatoria de 16 botellas y se observa que el contenido medio es de 0,97 litros. Con un nivel de confianza del 97%:
a) Calcula el intervalo de confianza para el contenido medio poblacional de una botella. (1 punto)
b) Explica, justificando la respuesta, como se podria obtener un intervalo de confianza con menor amplitud sin modificar el nivel de confianza. (0.75 puntos)
c) Dado el intervalo del apartado a), se puede aceptar que el contenido medio poblacional es de 1 litro con un nivel de confianza del 95%? Justificar la respuesta. (0.75 puntos)
[Se adjunta tabla de la distribucion normal estandar en el PDF original]

En el Parador de Turismo de Almagro se alojaron ayer 25 huespedes que hicieron las reservas con distintas companias, procedentes de Italia, Portugal y Japon. El gasto total en el Parador fue de 3610 euros, correspondiendo 140 euros a cada huesped italiano, 130 euros a cada huesped portugues y 160 euros a cada huesped japones. El registro del Parador muestra que el número de portugueses es la cuarta parte de la suma del número de huespedes de los otros dos paises.
a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cuantos huespedes hay de cada pais. (1.5 puntos)
b) Calcula número de huespedes de cada uno de los paises. (1 punto)

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) Se considera la función
$$f(x)=\begin{cases}2x^2+4 & \text{si }x\le k\\ -2x^2+8x & \text{si }x>k\end{cases}$$
a.1) Para que valor de $k$ la función $f(x)$ es continua en $x=k$? (1 punto)
a.2) Si $k=1$, calcula los maximos y minimos relativos de la función $f(x)$. (0.75 puntos)
a.3) En ese mismo supuesto, determina en que intervalos la función es concava y en cuales es convexa. (0.75 puntos)
Apartado b) Dada la función $f(x)=ax^3+bx^2+cx-3$, se sabe que tiene un minimo relativo en el punto $(-1,2)$ y un punto de inflexion en $(1,-14)$.
b.1) Encuentra el valor de los parametros $a$, $b$ y $c$. (1.5 puntos)
b.2) Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\2 & -1 & 0\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\\2 & -1\end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix}3 & 2\\0 & 2\end{pmatrix}$$, calcula la matriz $X$ en la ecuacion matricial $C\cdot X=A\cdot B+X$. (1 punto)

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) En un examen de matematicas se propone el siguiente problema:
'Indica el punto donde la función $F(x,y)=6x+3y-2$ alcanza el minimo en la region determinada por las siguientes restricciones: $2x+y\ge 6$; $2x+5y\le 30$; $2x-y\le 6$.'
Laura responde que el minimo de la función se alcanza en el punto $(1,2)$ y Jesus, por el contrario, que lo hace en el punto $(3,0)$.
a.1) Es exacta la respuesta de Laura? Razona tu respuesta. (1.25 puntos)
a.2) Es cierto que el minimo se alcanza en el punto $(3,0)$? Razona tu respuesta. (0.75 puntos)
a.3) Cuanto vale dicho minimo? (0.5 puntos)
Apartado b) La compania de seguros SEGURVIDA utiliza tres bufetes de abogados para resolver sus casos legales en los tribunales. El bufete A recibe el 30 % de los casos legales y gana en los tribunales el 60 % de los casos presentados. El bufete B recibe el 50 % de los casos legales y gana el 80 % de los casos presentados y el bufete C recibe el resto de los casos y gana el 70 % de los presentados. Se elige al azar uno de los casos que ha llegado a los tribunales y ya ha sido resuelto. Se pide, de forma razonada:
b.1) Cual es la probabilidad de que la compania haya ganado el caso? (0.75 puntos)
b.2) Si el caso elegido se ha perdido, calcula la probabilidad de que haya sido defendido por el bufete A. (0.5 puntos)
b.3) Si el precio por accion de la compania de seguros sigue una función de la forma $A(t)=at^3-12t^2+b$, donde $t$ = tiempo en horas transcurridas desde el inicio, alcanza un maximo en la tercera hora $t=3$, alcanzando un valor de 54 euros la accion en ese instante, encuentra el valor de los parametros $a$ y $b$. (1.25 puntos)