Examen resuelto de Matemáticas CCSS — Ordinaria 2025

Un centro de atencion telefonica estima que el tiempo, en minutos, de atencion a las llamadas que recibe se aproxima por una distribucion normal con desviacion tipica $\sigma=4$ minutos. Se toma una muestra de 36 llamadas y se observa que el tiempo medio de atencion es de 15 minutos. Con un nivel de confianza del 97%:
a) Calcula el intervalo de confianza para el tiempo de atencion medio poblacional. (1 punto)
b) Explica, justificando la respuesta, como se podria obtener un intervalo de confianza con menor amplitud sin modificar el nivel de confianza. (0.75 puntos)
c) Una asociacion de consumidores afirma que el tiempo medio de atencion a las llamadas es de 17 minutos. Dado el intervalo del apartado a), se puede aceptar tal afirmacion con un nivel de confianza del 95%? Justificar la respuesta. (0.75 puntos)
[Se adjunta tabla de la distribucion normal estandar en el PDF original]

Lucia, en un examen de Historia que constaba de tres preguntas, ha obtenido una calificacion total de 7,2 puntos. La puntuacion obtenida en la primera pregunta fue un 40 % mas que la obtenida en la segunda, y la puntuacion del tercer enunciado fue el doble de la suma de las puntuaciones obtenidas en la primera y segunda pregunta. Cual fue la puntuacion obtenida por Lucia en cada pregunta? (2.5 puntos)

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) Se considera la función
$$f(x)=\begin{cases}-x^2-3x+10 & \text{si }x\le k\\ x^2-4x+9 & \text{si }x>k\end{cases}$$
a.1) Para que valores de $k$ la función $f(x)$ es continua en $x=k$? (1 punto)
a.2) Si $k=1$, calcula los maximos y minimos relativos de la función $f(x)$. (0.75 puntos)
a.3) En ese mismo supuesto, determina en que intervalos la función es creciente y en cuales es decreciente. (0.75 puntos)
Apartado b) Dada la función $f(x)=ax^3+bx^2+c$, se sabe que tiene un minimo relativo en el punto $(2,-3)$ y un punto de inflexion en $(1,-1)$.
b.1) Encuentra el valor de los parametros $a$, $b$ y $c$. (1.5 puntos)
b.2) Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2\\2 & 0 & 1\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}2 & 1\\-1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix}-3 & 1\\2 & 4\end{pmatrix}$$, calcula la matriz $X$ en la ecuacion matricial $A\cdot B\cdot X=C\cdot X+I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. (1 punto)

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) Una fabrica de quesos organiza paquetes para enviar: A y B. Para la elaboracion del paquete tipo A se necesitan 30 minutos de trabajo manual y 45 minutos de trabajo en maquinas. Para la de tipo B, 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de maquinas. Tienen necesidad de enviarlo pronto, por lo que disponen de 85 horas de trabajo manual y 75 horas de trabajo con maquinas y deben enviar, al menos, 100 paquetes. El beneficio total es de 20 euros por cada paquete tipo A y 17 euros por cada paquete tipo B y se pretende maximizar el beneficio total.
a.1) Expresa la función objetivo; escribe, mediante inecuaciones, las restricciones del problema y representa graficamente el recinto definido. (2 puntos)
a.2) Determina cuantos paquetes de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea maximo. (0.5 puntos)
Apartado b) Se va a proceder a la seleccion de pilotos para una compania de vuelos. Se realizan tres pruebas independientes: A (idiomas), B (conocimientos teorico-practicos) y C (pruebas fisicas). Para acceder al puesto hay que superar las tres pruebas y se sabe, por procesos realizados anteriormente, que el 10 % de los presentados superan la prueba A, la B el 40 % y la C el 20 %. Sabiendo que todos los candidatos realizan las tres pruebas, se pide, de forma razonada:
b.1) Cual es la probabilidad de que un candidato pase la seleccion? (0.5 puntos)
b.2) Cual es la probabilidad de que un candidato no sea seleccionado por haber fallado en una sola prueba? (0.5 puntos)
b.3) Sabiendo que un candidato no ha sido seleccionado por haber fallado en una sola prueba, cual es la probabilidad de que haya fallado en la prueba B? (0.25 puntos)
b.4) Si la velocidad punta de la prueba fisica de carrera de 1000 m sigue una función de la forma $V(t)=at^3+bt^2+t$, con $t$ en minutos, y sabemos que alcanza el maximo en el instante $t=1$ alcanzando, en ese instante, una velocidad de 150 m/min, encuentra los valores de los parametros $a$ y $b$. (1.25 puntos)