Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Extraordinaria 2026

En una Comunidad Autónoma, el 75% de las personas reside en núcleos urbanos, el 10% en núcleos rurales, y, el 15% restante, en núcleos periurbanos. En estos núcleos, las personas que viven de alquiler suponen el 40% en los urbanos, el 10% en los rurales y el 30% en los periurbanos.

Un grupo de 30 alumnos de 2º de bachillerato realiza una votación a fin de determinar el campus universitario que prefieren visitar: Ciudad Real, Cuenca y Toledo. El número de los que prefieren Ciudad Real triplica al número de los que prefieren Toledo. El 40 % de los que prefieren Cuenca coincide con la quinta parte de la suma de los que prefieren los otros dos lugares. Halla el número de votos que obtuvo cada campus.

Elige y resuelve sólo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) Se considera la función $f(x)=\begin{cases}x^2+4x+3&\text{si }x\leq k,\\-3x^2+3&\text{si }x>k.\end{cases}$
a.1) ¿Para qué valores de $k$ la función $f(x)$ es continua en $x=k$?
a.2) Si $k=-1$, calcula los máximos y mínimos relativos de la función $f(x)$.
a.3) En ese mismo supuesto, determina en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente.
Apartado b) El volumen de agua, en millones de litros, almacenado por el embalse de Alarcón a lo largo de un periodo de 11 años en función del tiempo t en años viene dado por la función: $V(t)=t^3-24t^2+180t+8000$ con $0\leq t\leq11$.
b.1) La cantidad de agua almacenada en el último año.
b.2) El año del periodo en el que el volumen almacenado fue máximo.
b.3) El volumen máximo que se alcanzó en ese periodo.
b.4) Si $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}8&-9\\6&-7\end{pmatrix}$, halla la matriz X que cumple que $AXA^{-1}=B$.

Elige y resuelve sólo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos, A y B. El modelo A requiere, para su fabricación, 40 cm² de papel, 80 cm² de lámina de madera y 1 enganche metálico. El modelo B requiere: 60 cm² de papel, 160 cm² de lámina de madera y 1 enganche metálico. El coste de producción de cada modelo es de 1,20 € el de A y 1,30 € el de B. El precio de venta es de 3 € cada uno, independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias son de 3000 cm² de papel, 7200 cm² de lámina de madera y 70 enganches.
a.1) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.
a.2) Determina el número de abanicos que deben fabricarse y venderse para que el beneficio sea máximo y encuentra dicho beneficio máximo.
Apartado b) Una empresa fitosanitaria afirma que la duración, en días, del efecto de su fungicida sigue una distribución normal con una desviación típica de $\sigma=6$ días. Se suministra el fungicida a una muestra aleatoria de 16 plantas y se observa que la duración media del efecto es de 16 días. Con un nivel de confianza del 95%,
b.1) Obtén un intervalo de confianza para la duración media poblacional del efecto.
b.2) Explica, justificando la respuesta, cuál sería la amplitud del intervalo de confianza anterior si se aumenta la muestra a 64 plantas.
b.3) Si se desea que una duración media de 14 días del efecto no esté contenida en el intervalo del apartado b.1), justifique si se debe aumentar o disminuir el nivel de confianza.