Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Ordinaria 2026

En una Comunidad Autónoma, el 40% de los clubes deportivos son de fútbol, el 15% de baloncesto y el 45% restante de otros deportes. En estos grupos, los clubes femeninos suponen el 20% en el caso del fútbol, el 45% en el de baloncesto y el 50% en el de otros deportes.

Una empresa invirtió un total de 20.000 euros entre tres fondos de inversión: A, B y C. El beneficio que obtuvo por cada euro invertido en el fondo A fue de 0,05 euros, el beneficio que obtuvo por cada euro invertido en el fondo B fue de 0,1 euros y el beneficio que obtuvo por cada euro invertido en el fondo C fue de 0,02 euros. Con las inversiones realizadas en los fondos, la empresa obtuvo un beneficio total de 994 euros. Además, la inversión en el fondo A fue igual al triple de la suma de las inversiones en los fondos B y C.

Elige y resuelve sólo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un dique. La profundidad ($P$) en función del tiempo, en años desde el inicio de la construcción ($t$) vendrá dada por la función $P(t)=\begin{cases}2+t^2&\text{si }0\leq t\leq1,\\\dfrac{8t^2-t-1}{2t^2}&\text{si }t>1.\end{cases}$ Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo.
a.1) ¿Es la profundidad una función continua del tiempo?
a.2) ¿Disminuirá alguna vez la profundidad?
a.3) Por mucho tiempo que pase ¿será necesario elevar la altura del paseo por causa de la profundidad de la capa de arena?
Apartado b) Un profesor ha comprobado que el grado de atención, puntuado de 0 a 100, que le prestan sus alumnos durante los 40 minutos de duración de su clase sigue la siguiente función: $F(t)=at(b-t)$ con $0\leq t\leq40$. Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar la clase le prestan la máxima atención, es decir, el grado de atención es 100, se pide:
b.1) Determina, justificando la respuesta, $a$ y $b$.
b.2) Halla la atención a los cinco minutos.
b.3) Si $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}7&-3\\8&-3\end{pmatrix}$, halla la matriz X que cumple que $AXA^{-1}=B$.

Elige y resuelve sólo uno de los dos apartados siguientes:
Apartado a) En un coto de caza de Ciudad Real hay conejos y perdices. Por indicación de la Consejería de Agricultura de la JCCM, se han determinado las siguientes restricciones: el número máximo de piezas cazadas es de 400, se permite la captura de un número de conejos superior o igual al de perdices y el número máximo de conejos que se pueden cazar es de 240. Si al dueño del coto le proporciona un beneficio de 35 € por conejo y 43 € por perdiz,
a.1) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.
a.2) Determina cuántos conejos y perdices se deben cazar para que el beneficio sea máximo y encuentra dicho beneficio máximo.
Apartado b) Una operadora de telefonía móvil estima que la duración, en segundos, de las llamadas sigue una distribución normal con una desviación típica de $\sigma=60$ segundos. Se seleccionan al azar 36 llamadas telefónicas y se observa que su duración media es de 240 segundos. Con un nivel de confianza del 95%,
b.1) Obtén un intervalo de confianza para la duración media poblacional de todas las llamadas de esa operadora.
b.2) Explica, justificando la respuesta, cuál sería la amplitud del intervalo de confianza anterior si se aumenta la muestra a 100 llamadas.
b.3) Si se desea que una duración media de 230 segundos no esté contenida en el intervalo del apartado b.1), justifique si se debe aumentar o disminuir el nivel de confianza.