Una academia de idiomas ofrece dos cursos de portugués: elemental (A1) y avanzado (A2). Por motivos de organización se puede admitir como máximo 66 estudiantes en el A1, aunque en el A2 se deben admitir 60 o más estudiantes. Por razones de espacio, el número de estudiantes del curso A1 debe ser inferior o igual a dos tercios del número de estudiantes del A2. Por cada estudiante matriculado, los beneficios mensuales del curso A1 y del curso avanzado A2 son de 145 euros y 150 euros, respectivamente.

Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, el número de estudiantes de cada curso que la academia ha de matricular para maximizar el beneficio mensual y cuál es ese beneficio máximo.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $a$.

b) Resolver el sistema para $a = -1$.

Se considera la función $f(x) = a\,x^3 + 3x^2 + b\,x - 4$.

a) Averiguar los valores de $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo en el punto $(2,\,-8)$.

b) Si $a = 0$ y $b = -11$, hallar el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje $OX$ en el intervalo $[4,\,5]$.

Una empresa tiene un gran servidor web cuya velocidad de respuesta (Gigabits por segundo, Gbps) viene dada por la función

donde $x$ (terabytes) es la memoria requerida en cada momento.

a) [2 puntos] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la velocidad de respuesta del servidor según la memoria requerida. ¿Cuánta es la memoria requerida al alcanzar la velocidad de respuesta máxima? Calcular esa velocidad máxima.

b) [1 punto] ¿Cuál es el límite de velocidad de respuesta del servidor a medida que aumenta la memoria requerida?

El 10 % de los habitantes de una región padece cierta enfermedad. El único test disponible para detectar esa enfermedad resulta positivo en el 97 % de las personas con la enfermedad. Este test también resulta positivo en el 1 % de las personas que no padecen la enfermedad. Si se realiza el test a una persona elegida al azar de dicha región, determinar:

a) La probabilidad de que el test resulte positivo.

b) Si el test resulta negativo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga la enfermedad?

Una máquina envasadora rellena sacos de cemento. El peso (en kg) de cada saco sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $2{,}25$ kg.

a) Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 24 kg, ¿cuál es la probabilidad de que un lote con 36 sacos tenga un peso medio superior a $25{,}1250$ kg?

b) Se toma una muestra de 15 sacos y se obtiene una media muestral del peso de $25{,}65$ kg. Determinar, al nivel de confianza del 97 %, un intervalo para la media poblacional $\mu$.

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$. Si $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$, determinar la dimensión de la matriz $X$ que es solución de la ecuación $(A + B^t)\cdot X = C$.

¿Cuál es el dominio de definición de la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x\,(x^2-1)}$? Justificar la respuesta.

Una tienda de mascotas realiza un sorteo con papeletas de tres cifras. Sabiendo que el número premiado se elige extrayendo al azar cada cifra, por separado y con reemplazamiento, de una bolsa que contiene bolas del 0 al 9, calcular la probabilidad de que el número premiado termine en 55.