Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

E1.- (Álgebra)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x - y + az = 0 \\ x - z = 0 \\ 2x + ay - 2z = 0 \end{cases}$$

a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real $a$. (1,2 puntos)

b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro $a = -1$. (0,8 puntos)

E2.- (Álgebra)

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} a + 1 & 1 \\ a - 3 & a - 3 \end{pmatrix}$$.

a) Indique para qué valores de $a$ existe la matriz inversa $A^{-1}$. (0,5 puntos)

b) Si $a = 4$, $$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$, $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$, encuentre la matriz $X$ que verifica que $B + XA = C$. (1,5 puntos)

E3.- (Geometría)

Sea el plano $\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0$, la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ z + 1 = 0 \end{cases}$$ y el punto $A = (1, 3, -1)$.

Hallar la ecuación del plano que pasa por $A$, es paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$. (2 puntos)

E4.- (Geometría)

Dados el punto $A(1, 2, 4)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{2}$:

a) Hallar un punto $B$ de la recta $r$ de forma que el vector $\overrightarrow{AB}$ sea paralelo al plano $\pi \equiv x + 2z = 0$. (1,5 puntos)

b) Hallar un vector $(a, b, c)$ perpendicular a $(1, 0, -1)$ y $(2, 1, 0)$. (0,5 puntos)

E5.- (Análisis)

Representar gráficamente la función $f(x) = x e^x$, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas. (2 puntos)

E6.- (Análisis)

Demuestre que la ecuación $x^3 - 12x = -2$ tiene una solución en el intervalo $[-2, 2]$ y pruebe además que esa solución es única. (2 puntos)

E7.- (Análisis)

a) Calcular $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - \cos x - x}{e^x + \operatorname{sen} x - 1}$. (1 punto)

b) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}(\operatorname{sen} x + \cos x)\,dx$. (1 punto)

E8.- (Análisis)

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones $f(x) = \dfrac{2}{x}$ y $g(x) = 3 - x$. (0,5 puntos)

b) Sabiendo que en el intervalo $[1, 2]$ se verifica que $g(x) \geq f(x)$, calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo. (1,5 puntos)

E9.- (Probabilidad y estadística)

El peso de los alumnos de 2.º de bachillerato de un instituto de León, sigue una distribución normal, de media 75 kg y de desviación típica 5. Si se elige al azar un alumno, calcular la probabilidad de que:

a) Tenga un peso entre 70 y 80 kg. (1 punto)

b) Tenga un peso superior a 85 kg. (1 punto)

E10.- (Probabilidad y estadística)

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es $0{,}6$, $0{,}3$ y $0{,}1$, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es $0{,}25$ para los barcos de bajo tonelaje, $0{,}4$ para los de tonelaje medio y $0{,}6$ para los de tonelaje alto.

a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. (1 punto)

b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. (1 punto)