Se considera el sistema de ecuaciones lineales: $\begin{cases} x - y + az = 0 \\ x - z = 0 \\ 2x + ay - 2z = 0 \end{cases}$. a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real $a$ (1,2 puntos). b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro $a = -1$ (0,8 puntos).

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ a-3 & a-3 \end{pmatrix}$. a) Indique para qué valores de $a$ existe la matriz inversa $A^{-1}$ (0,5 puntos). b) Si $a = 4$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, encuentre la matriz $X$ que verifica $B + XA = C$ (1,5 puntos).

Sea el plano $\pi \equiv x-2y+2z+1=0$$\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0$, la recta $r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ x + 1 = 0 \end{cases}$ y el punto $A = (1, 3, -1)$. Hallar la ecuación del plano que pasa por $A$, es paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$$\pi$ (2 puntos).

Dados el punto $A(1,2,4)$ y la recta $r:$$\frac{x+1}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z+1}{2}$. a) Hallar un punto $B$ de la recta $r$ de forma que el vector $\overrightarrow{AB}$ sea paralelo al plano $\pi \equiv x+2z=0$$\pi \equiv x + 2z = 0$ (1,5 puntos). b) Hallar un vector $(a, b, c)$ perpendicular a $(1, 0, -1)$ y $(2, 1, 0)$ (0,5 puntos).

Representar gráficamente la función $f(x) = xe^x$, calculando previamente sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La recta tangente a su gráfica en el punto $(-1, 0)$ es el eje de abscisas (2 puntos).

Demostrar que la ecuación $x^3 - 12x - 2 = 0$ tiene alguna solución real en el intervalo $[-2, 2]$. Probar que la solución es única (2 puntos).

a) Calcular $\displaystyle\lim_{x \to$\infty} \frac{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{2x+1}}{1-x} (1 punto). b) Dada $f(x) =$$\frac{2x+1}{x^2+x}$, hallar la función primitiva $F(x)$ que verifique $F(0) = 3$ (1 punto).

a) Calcular los puntos de corte de las gráficas de $f(x) =$$\frac{1}{x^2}$ y $g(x) = x + 3$ en $[-1, 0]$ (se cortan para $x = -1$ y $x = 0$) (0,5 puntos). b) Sabiendo que en [-1,2] se verifica que $g(x)$$\geq f(x)$ calcular el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones en dicho intervalo (1,5 puntos).

De los alumnos de 2° de bachillerato de un instituto de León, cuya distribución normal tiene media 74 kg y desviación típica 5. Si se elige al azar un alumno, calcular: a) Tenga un peso entre 70 y 80 kg (1 punto). b) Tenga un peso superior a 85 kg (1 punto).

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,5, 0,3 y 0,2 respectivamente. La probabilidad de necesitar mantenimiento es 0,02 para los bajos, 0,12 para los de tonelaje medio y 0,04 para los de alto. a) Si llega un barco a puerto, calcular la probabilidad de que necesite mantenimiento (1 punto). b) Si un barco necesita mantenimiento, calcular la probabilidad de que sea de tonelaje medio (1 punto).