Discutir según los valores del parámetro $\lambda$$\lambda$ el sistema: $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x -$\lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}. a) Discutir (1,2 puntos). b) Resolver para $\lambda =1$$\lambda = 1$ (0,8 puntos).

Dadas $M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, hallar la matriz $P$ que verifica $M^{-1}PM = N$ (2 puntos).

Dadas $r \equiv x = y + 1 =$$\frac{t+2}{2}$ y $s:$$\frac{x+y+3}{2x-z+3} = 0$. a) Determinar la posición relativa de $r$ y $s$ (1 punto). b) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$ (1 punto).

Dada la recta $r \equiv x - 1 =$$\frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{-1}$. a) Calcular el plano $\pi_1$ que pasa por $A = (1,2,3)$ y es perpendicular a $r$ (0,5 puntos). b) Calcular el plano $\pi_2$ que pasa por $B = (-1,1,-1)$ y contiene a $r$ (1,5 puntos).

Dada $f(x) = x^7 - 5x - 1$, determínese sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión (2 puntos).

Calcular el valor de $m > 0$ para el cual se verifica que $\displaystyle\lim_{x \to 0}$$\frac{1-\cos(mx)}{x^2} = 2$ (2 puntos).

a) Estudiar la continuidad de $f(x) = \begin{cases}$\frac{1-\cos x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases} (1 punto). b) Calcular $\int x\ln (x^2)dx$$\int x \ln(x^2)\,dx$ (1 punto).

Se considera $f(x) = x - \cos(x)$. a) Demostrar que $f(x) = 0$ tiene al menos una solución en $[0,$$\pi/2]$ (1 punto). b) Probar que la ecuación $f(x) = 0$ solo puede tener una solución en $[0,$$\pi/2]$, de modo que la solución del apartado anterior es la única (1 punto).

En una caja hay bolas de varios colores. 48% blancas, 24% rojas (3/4 de madera), 28% verdes (mitad de madera). B=blanca, R=roja, V=verde, M=madera. a) P(M/B), P(M/R), P(M/V) (0,3 puntos). b) P de que al sacar una al azar sea de madera (0,7 puntos). c) Si sabemos que es de madera, P de que sea blanca (1 punto).

El coeficiente intelectual de la población adulta española sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20. a) P de que el CI esté entre 95 y 105 (1 punto). b) Si se considera superdotada a una persona con CI > 160, ¿qué porcentaje de adultos son superdotados? (1 punto).