E1 (Álgebra). a) Obtener todas las soluciones del sistema $\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y-z=3 \end{cases}$ (1 punto). b) Determinar todos $a, b \in \mathbb{R}$ para que $x=5$, $y=-2$, $z=-2$ sea solución del sistema $\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y-z=3 \\ ax+2ay+bz=b \end{cases}$. ¿Para cuáles de esos valores la solución es única? (1 punto)

Dadas $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. a) Calcular la matriz $C$ siendo $c_{11} = 2$, tal que $AC = B$ (1 punto). b) Si $D = B^t A$, determinar los valores de $a$ para los que $D$ tiene inversa (1 punto).

Dadas las rectas $r_1 \equiv \begin{cases} x=1+t \\ y=2t \\ z=-1+t \end{cases}$ y $r_2:$$\frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}$. a) Razonar si existe un plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$ (1 punto). b) Calcular la recta con vector director perpendicular a los de $r_1$ y $r_2$, que pasa por (1,0,0) (1 punto).

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $(1,0,-1)$ y $(0,1,1)$. a) Determinar el plano que contiene a $r$ y al punto $P = (0,0,1)$ (1 punto). b) Calcular la distancia de la recta $r$ al punto $P = (0,0,1)$ (1 punto).

Sea $f(x) = \begin{cases}$\frac{1}{2-x} & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}. a) Estudiar su continuidad y derivabilidad en $x = 1$ (1 punto). b) Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales (1 punto).

Dada $f(x) = x^2(x + 3)$, determinar su dominio de definición, puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos (2 puntos).

Calcular: a) $\displaystyle\lim_{x \to 0}$$\frac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2}$ (1 punto). b) $\int_0^{$\pi/2} \operatorname{sen}(x) \cos^2(x)\,dx (1 punto).

Dadas $f(x) = -x^2$ y $g(x) = x^3$. a) Comprobar que las gráficas solo se cortan para $x = -1$ y $x = 0$. Demostrar que en $[-1, 0]$, $g(x)$$\geq f(x)$ (1 punto). b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones (1 punto).

Sean $A$, $B$ y $C$ sucesos con $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}4$, $P(C) = 0{,}5$, siendo $A$ y $B$ independientes y $A$ y $C$ incompatibles. Calcular $P(A \cap B)$, $P(A \cap C)$, $P(A \cup C)$, $P(A \cup B)$ y $P(A \cup B \cup C)$ usando $\bar{A}$$\bar{A}$, $\bar{B}$$\bar{B}$ y $\bar{C}$$\bar{C}$ (2 puntos).

Camionetas recogen envases reciclados: 45% marca C1, 30% marca C2, 25% marca C3. Probabilidad de avería: 0,02 si C1, 0,05 si C2, 0,04 si C3. a) Indicar las 6 probabilidades del enunciado (0,6 puntos). b) Si se selecciona una camioneta al azar, ¿qué probabilidad tiene de averiarse? (0,7 puntos). c) Suponiendo que una camioneta se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido de la marca C3? (0,7 puntos).