Calcular $\lambda$$\lambda$ y $\mu$$\mu$ para que el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x + 2y + z =$\mu \\ 4x + y = 1 \\ y + \lambda z = -1 \end{cases} tenga infinitas soluciones (2 puntos).

Dadas $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ z & x+y \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, calcular los valores de $x$, $y$, $z \in \mathbb{R}$ para que $AB$ sea igual a la inversa $C^{-1}$ de $C$ (2 puntos).

Calcular la ecuación del plano $\pi$$\pi$ que es perpendicular al plano $\sigma \equiv x+2y+3z=0$$\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0$ y pasa por los puntos $P = (0,0,0)$ y $Q = (0,1,1)$ (2 puntos).

Dados el plano $\sigma \equiv x+2y+3z=0$$\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0$ y la recta $r: \begin{cases} 2x - y + z = 8 \\ x - y + 2z = 9 \end{cases}$, se pide (véase examen para detalles completos). Considere el punto $P = (2,2,1)$ y el plano $\pi \equiv 2x+3y-3z+6=0$$\pi \equiv 2x + 3y - 3z + 6 = 0$. a) Halle la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$$\pi$ (1 punto). b) Calcule la distancia del punto $Q = (2,2,-2)$ al plano $\pi$$\pi$ (1 punto).

a) Determinar $\alpha$$\alpha$ y $\beta$$\beta$ de modo que las funciones $f(x) = x^2 -$$\alpha$ y $g(x) = (x-$$\beta)e^x$ tengan el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo (1 punto). b) Demostrar que la función $f(x) = 2x +$$\text{sen}\,x$ solo se anula en $x = 0$ (1 punto).

a) Determinar el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función $f(x) = x(3x-1)$ (1 punto). b) Calcular $\int (3x-1)\cdot xdx$$\int (3x-1) \cdot x\,dx$ (1 punto).

Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 0}$$\frac{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{2x+1}}{1-x}$ (2 puntos).

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = xe^{-x}$ y el eje de abscisas cuando $x$ varía en el intervalo $[-1, 0]$ (2 puntos).

El 50% de participantes de un torneo de ajedrez en Salamanca son de la ciudad. De los extranjeros, dos tercios son españoles y un tercio del mundo. De los españoles, la mitad son de Castilla y León. De los del mundo, un tercio son europeos y dos tercios no. a) Indicar las 8 probabilidades (0,8 puntos). b) Si se selecciona un participante al azar, ¿calcular la probabilidad de que sea de un país no español? (0,6 puntos). c) Si se elige al azar un participante del torneo y tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? (0,6 puntos).

Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y el tipo usual (seis caras), es decir, son cubos, más bien como juego tenga de su cara dos números cualquiera que sale de ellos (leer enunciado original para detalles) (2 puntos).