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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2024

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discusion-sistemas
Sistema de ecuaciones lineales con parámetro a
1.20.8
Dado el sistema: {ax+y+z=a(a+1)x+y−az=0x+(a+1)y=0\begin{cases} ax + y + z = a \\ (a+1)x + y - az = 0 \\ x + (a+1)y = 0 \end{cases} a) Discutir el sistema según el valor del parámetro aa. (1,2 puntos) b) Resolver si a=0a = 0. (0,8 puntos)
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matrices-inversas
Rango e inversa de una matriz con parámetro
0.40.61
Sea la matriz A=(a−200−2001a)A = \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}. a) ¿Para qué valores de aa la matriz AA tiene inversa? (0,4 puntos) b) Estudiar el rango de la matriz según los valores de aa. (0,6 puntos) c) Hallar aa para que se cumpla A−1=14AA^{-1} = 14A\frac{1}{4}A. (1 punto)
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rectas-planos
Ecuaciones de recta paralela a otra
2
Calcular las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta ss que pasa por el punto A(1,−2,2)A(1, -2, 2) y es paralela a la recta r:{2x−y+z=8x−y+2z=9r: \begin{cases} 2x - y + z = 8 \\ x - y + 2z = 9 \end{cases} (2 puntos)
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rectas-planos
Posición relativa plano-recta con parámetro m
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Dado el plano π≡3x+3y+mz=3π≡3x+3y+mz=3\pi \equiv 3x + 3y + mz = 3 y la recta r≡{2x−y+3z=1x−y=2r \equiv \begin{cases} 2x - y + 3z = 1 \\ x - y = 2 \end{cases}, determinar mm para que sean: a) Perpendiculares (1 punto). b) Paralelos (1 punto).
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limites
Límite y ecuación trascendente (Bolzano)
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a) Calcular lim⁡x→0x2+sen⁡x(x+sen⁡x)⋅x\displaystyle\lim_{x \to 0} x2+sen⁡x(x+sen⁡x)⋅x\frac{x^2 + \operatorname{sen} x}{(x + \operatorname{sen} x) \cdot x} (1 punto). b) Demostrar que la ecuación x⋅sen⁡x=1x ⋅sen⁡x=1\cdot \operatorname{sen} x = 1 tiene alguna solución (1 punto).
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6
integrales
Extremos e integral de f(x) = 2x/(x+1)²
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Dada f(x)=2x(x+1)2f(x) = 2x(x+1)2\frac{2x}{(x+1)^2}: a) Determinar sus extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento (1 punto). b) Calcular ∫2x(x+1)2 dx∫2x(x+1)2 dx\int \frac{2x}{(x+1)^2}\,dx (1 punto).
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7
continuidad
Continuidad, derivabilidad y recta tangente
1.50.5
Dada la función f(x)={x2+ax+bsi x≤0e2xsi x>0f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 0 \\ e^{2x} & \text{si } x > 0 \end{cases} a) Hallar aa y bb para continuidad y derivabilidad en x=0x = 0 (1,5 puntos). b) Hallar la recta tangente en x=1x = 1 (0,5 puntos).
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integrales
Función con extremo e integral definida
1.60.4
a) Calcular aa, bb y cc para que f(x)=ax2−bx+cf(x) = ax^2 - bx + c presente en (1,2)(1,2) un extremo local y se cumpla ∫01f(x) dx=1\int_0^1 f(x)\,dx = 1 (1,6 puntos). b) ¿El extremo es máximo o mínimo? (0,4 puntos)
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probabilidad
Probabilidad en torneo de tenis
10.50.5
Semifinales de Grand Slam con jugadores A, B, C, D. P(A) = P(B), P(A) = 3P(C), P(C) = P(D). Calcular: a) P de ganar cada uno (1 punto). b) P(ganen C o D) (0,5 puntos). c) P(no gane A) (0,5 puntos).
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probabilidad-condicionada
Probabilidad condicionada: miopía y sexo
0.50.51
Se estudian 550 mujeres (280 miopes) y 420 hombres (190 miopes). A = ser mujer, B = ser hombre, M = padecer miopía. a) Calcular P(A), P(M|A), P(B∩M) (0,5 puntos). b) P(ser miope) (0,5 puntos). c) P(ser mujer | ser miope) (1 punto).
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