Examen any 2.020 (convocatòria extraordinària). Responeu a QUATRE de les 6 qüestions; cada qüestió val 2,5 punts. Pàgines en blanc: 14 i 15.

Qüestió 1. Considerem la matriu $$A=\begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$$. Estudieu per a quins valors de $x$ la matriu inversa de la matriu $A$ coincideix amb la seva oposada, és a dir, $A^{-1}=-A$.

[2,5 punts]

Qüestió 2. Un fabricant va tenir un producte a la venda durant deu anys. Durant aquest temps, el preu del producte $P$, en euros, va estar relacionat amb el temps que feia que estava a la venda $t$, expressat en anys, seguint la funció següent:

a) Indiqueu els intervals de creixement i de decreixement del preu del producte durant aquests deu anys. [1,25 punts]

b) Trobeu el preu màxim que va assolir el producte durant el temps que va estar a la venda i calculeu la taxa de variació mitjana del preu del producte durant els darrers cinc anys que va estar a la venda. [1,25 punts]

Qüestió 3. Una coneguda marca fabrica dues versions d'una mateixa fragància: el perfum, que és més concentrat i que es ven en ampolles petites que costen 70 euros, i la colònia, que és més diluïda i que es ven en ampolles més grans a 82 euros. En la fabricació cal barrejar dos ingredients: l'ingredient A (que conté l'aroma concentrat) i l'ingredient B (que conté alcohol i altres substàncies). En aquests moments el fabricant disposa de 5.000 ml de l'ingredient A i de 30.000 ml de l'ingredient B. Per a fabricar una ampolla de perfum calen 10 ml de l'ingredient A i 40 ml de l'ingredient B, i per a fabricar-ne una de colònia calen 10 ml de l'ingredient A i 90 ml de l'ingredient B. Les comandes actuals obliguen a fabricar almenys 120 unitats de perfum i 70 unitats de colònia.

a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

b) Quantes unitats cal produir de cada versió per a obtenir, un cop venudes, uns ingressos màxims? Quins són aquests ingressos? [1,25 punts]

Qüestió 4. Considerem les funcions $f(x) = x^2 + ax + b$ i $g(x) = -x^2 + c$.

a) Calculeu els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ per tal que les gràfiques de $f(x)$ i $g(x)$ es tallin en els punts $(-1, 3)$ i $(3, -5)$. [1,25 punts]

b) Per a $c = 4$, trobeu l'equació de la recta tangent a $g(x)$ en el punt d'abscissa $x = -1$. [1,25 punts]

Qüestió 5. Un triatló consta de tres segments que cal realitzar consecutivament practicant tres modalitats d'esport diferents: natació, ciclisme i cursa a peu. La distància total que es recorrerà en el triatló és de 75 km. Sabem que el recorregut en bicicleta és igual a quatre vegades la distància que cal recórrer nedant i corrent conjuntament. Sabem també que si sumem 3 km a la distància que es fa corrent ens dona el mateix que cinc vegades el recorregut que es fa nedant. Determineu la distància recorreguda en cada modalitat.

[2,5 punts]

Qüestió 6. La funció $Q(x) = (x + 1)^2 (32 - x)$, en què $x \in [-1, 32]$, representa la producció, en quilograms, d'una hortalissa en un hivernacle en funció de la temperatura $x$, expressada en graus centígrads (°C), que pot variar entre −1 °C i 32 °C.

a) Calculeu quina és la temperatura de l'hivernacle amb la qual s'obté la màxima producció. Quina producció d'hortalissa obtindrem a aquesta temperatura? [1,25 punts]

b) Calculeu a quines temperatures s'assoleix el nivell mínim de producció i quin és aquest valor mínim. [1,25 punts]