Examen Sèrie 1, any 2.020 (convocatòria ordinària). Responeu a QUATRE de les 6 qüestions; cada qüestió val 2,5 punts. Pàgines en blanc: 14 i 15.

Qüestió 1. Un venedor d'una llibreria de vell cobra, a més a més d'un sou fix, diferents comissions depenent del tipus de llibre que ven. Cobra 1 € per cada còmic, 1,5 € per cada revista i 2 € per cada noveŀla.

Ahir, va vendre el doble de revistes que de noveŀles i 5 còmics menys que revistes, i va aconseguir en total una comissió de 30 €.

Quantes publicacions va vendre de cada tipus? Tots aquests nombres són enters no negatius.

[2,5 punts]

Qüestió 2. L'1 de gener de 2.019 va sortir al mercat un nou model d'un producte tècnic d'esquí. La funció de tercer grau $f(x)=10x^3 \;{-}\; 210\,x^2 + 1.470\,x$ (coeficients: 10, 210 i 1.470) ens dona el nombre total d'unitats venudes, en què $x$ denota el nombre de mesos transcorreguts, des del llançament del producte, durant el primer any (és a dir, $x\in[0,\,12]$).

a) Quantes unitats s'havien venut al cap de 3 mesos? Quantes se'n van vendre al cap d'un any? Determineu la taxa de variació mitjana entre els mesos 3 i 12. [1,25 punts]

b) Comproveu que la funció és creixent en l'interval $[0,\,12]$ i trobeu en quin instant el creixement ha estat més lent. [1,25 punts]

Qüestió 3. El cost d'elaboració d'un menú en un restaurant és de 8 €. S'ha realitzat un estudi de mercat i s'ha arribat a la conclusió que si el preu del menú és de 18 € entren a dinar al restaurant 120 clients. També s'ha conclòs que la relació entre el preu del menú i el nombre de clients és lineal, de manera que, per cada euro que augmentem el preu del menú, disminueix en 4 el nombre de clients. I a l'inrevés, per cada euro que disminuïm el preu, augmenta en 4 el nombre de clients.

a) Obteniu la funció que expressa el benefici del restaurant en funció del nombre d'euros en què augmentem o disminuïm el preu inicial del menú. [1,25 punts]

b) Trobeu en quants euros cal augmentar o disminuir el preu inicial del menú per tal que el restaurant obtingui el màxim benefici. Quin seria el preu final del menú i quin seria el benefici obtingut amb aquest preu? [1,25 punts]

Qüestió 4. Un fabricant de mobles de jardí fabrica cadires i taules de fusta d'exterior. Cada cadira li aporta un benefici de 20 € i cada taula un de 25 €. Sabem que cada mes pot produir com a màxim un total de 120 mobles entre els dos productes. També sabem que, com a màxim, pot fabricar 100 cadires i que ha de fabricar un mínim de 10 taules. D'altra banda, el nombre de cadires fabricades ha de ser igual o superior al triple de taules fabricades.

a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

b) Quina és la producció mensual que li aporta el màxim benefici un cop venuda? Quin és aquest benefici? [1,25 punts]

Qüestió 5. Considereu les matrius $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ i $$B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$.

a) Comproveu que es compleix que $A^{-1} = A^2$. [1,25 punts]

b) Resoleu l'equació matricial $A\cdot X + B = I$, en què $I$ és la matriu identitat d'ordre 2. [1,25 punts]

Qüestió 6. El benefici d'una empresa, expressat en milions d'euros, és donat per la funció següent, en què $x$ indica el nombre d'anys que han passat des del moment que va començar a funcionar:

a) Quin és el benefici en el moment en què l'empresa comença a funcionar? En quin moment l'empresa passa de tenir beneficis a tenir pèrdues? [1,25 punts]

b) En quin moment aconsegueix l'empresa el benefici màxim? Quin és aquest benefici màxim? [1,25 punts]