Examen any 2.021 (convocatòria extraordinària). Responeu a QUATRE de les 6 qüestions; cada qüestió val 2,5 punts. Pàgines en blanc: 14 i 15.

Qüestió 1. La taula següent mostra els ingressos, en milers d'euros, d'una botiga que disposa de tres locals, durant els mesos de gener, febrer i març de 2.020.

Hem recollit la informació anterior en la matriu $A$, en què cada fila indica un local i cada columna el mes corresponent:

a) Considereu els vectors $v = (1\;\;1\;\;1)$ i $$w = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$. Feu les operacions $v\cdot A$ i $A\cdot w$. Interpreteu en cada cas el resultat obtingut. [1,25 punts]

b) La matriu $B$ recull els resultats del trimestre següent, és a dir, els ingressos corresponents als mesos d'abril, maig i juny de 2.020:

Desconeixem la dada corresponent al mes de juny del local 3, que hem denominat $x$, però sabem que el rang de la matriu $B$ és 2. Trobeu el valor de $x$. [1,25 punts]

Qüestió 2. La Filomena fa una festa i convida els amics a menjar un pastís. Ha anat a la botiga i ha comprat una dotzena d'ous, una bossa de farina d'ametlla i un paquet de sucre morè. La festa ha estat un èxit i decideix repetir la trobada i tornar a fer el pastís. Torna a la botiga i compra una altra dotzena d'ous i dues bosses de farina d'ametlla. Però un cop a casa s'adona que no té gens de sucre. Torna a la botiga i compra un paquet de sucre morè i també una altra dotzena d'ous. La primera compra li va costar 6 €, la segona 6,5 € i la darrera 3,5 €.

a) Plantegeu un sistema d'equacions amb les dades del problema. [0,75 punts]

b) Calculeu el preu d'una dotzena d'ous, el d'una bossa de farina d'ametlla i el d'un paquet de sucre morè. [1,75 punts]

Qüestió 3. Un restaurant que acaba d'obrir vol posar anuncis a la ràdio i a la televisió locals durant una setmana per a donar-se a conèixer i augmentar així el nombre de clients. Té un pressupost màxim de 18.000 euros. Cada anunci a la ràdio costa 1.000 euros i el contracte preveu que com a mínim cal fer-ne 3. Cada anunci a la televisió costa 3.000 euros i, per disponibilitat de programació, se'n poden fer com a màxim 4. S'estima que cada anunci a la ràdio suposa un increment de 10 clients per al restaurant i que cada anunci a la televisió suposa un increment de 60 clients. Tots aquests valors són enters no negatius (els nombres d'anuncis són necessàriament enters).

a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

b) Calculeu quants anuncis haurà de posar a la ràdio i quants a la televisió perquè el nombre de clients nous sigui màxim. Quants clients nous obtindrà? [1,25 punts]

Qüestió 4. La funció $C(t) = 3 - \dfrac{1}{t^2 - 4t + 5}$, en què $t$ són els anys transcorreguts i $C(t)$ la quantitat de clients, expressada en milers, modelitza l'evolució d'una empresa que ha entrat en crisi.

a) Calculeu quants clients tenia l'empresa en el moment inicial i quants en tenia al cap d'un any. [0,5 punts]

b) Trobeu l'instant en què l'empresa deixa de perdre clients i calculeu quants clients té en aquell instant. [1 punt]

c) Calculeu quant temps haurà de passar perquè l'empresa aconsegueixi tenir de nou el mateix nombre de clients que en el moment d'iniciar l'estudi. [1 punt]

Qüestió 5. Una empresa posa a la venda un producte que distribueix en caixes. El benefici $B$ obtingut per l'empresa, expressat en milers d'euros, és donat per l'expressió $B(x) = -x^2 + 16x - 55$, en què $x > 0$ és el preu de venda de cada caixa, expressat en euros.

a) Quin benefici obtindrà si el preu de venda de cada caixa és de 6 euros? Entre quins valors cal fixar el preu de venda d'una caixa per a obtenir beneficis? [1,25 punts]

b) A quin preu ha de vendre cada caixa perquè el benefici sigui el més gran possible? Quin és aquest benefici màxim? [1,25 punts]

Qüestió 6. Considereu la funció $f(x) = p\,x^3 - 4x^2 + 7\,p\,x - 18$.

a) Calculeu quin ha de ser el valor del paràmetre $p$ perquè les rectes tangents a la corba en els punts d'abscisses $x = 1$ i $x = 3$ siguin paraŀleles. [1,25 punts]

b) Escriviu l'equació de la recta tangent al punt d'abscissa $x = 3$ per al valor de $p = 2$. [1,25 punts]