1. Una fàbrica estima que el benefici mensual, en milers d’euros, per cada tona de confeti
venuda és donat per la funció
, en què x representa el nombre de
tones de confeti venudes.
a) Determineu en quin interval de valors s’ha de trobar la variable x perquè la fàbrica no
tingui pèrdues.
[1,25 punts]
3
b) Calculeu la quantitat de tones de confeti que proporciona el benefici màxim i digueu
quin és aquest benefici.
[1,25 punts]

2. En una pastisseria volen preparar capsetes de panellets per a obsequiar els millors clients
durant la setmana de la Castanyada. En total, disposen de 120 panellets de pinyons i de
150 panellets de coco. Volen preparar capsetes de dos tipus: les del primer tipus contin-
dran 3 panellets de pinyons i 2 de coco, i les del segon tipus contindran 4 panellets de
pinyons i 6 de coco. La idea de la pastisseria és preparar el nombre màxim de capsetes
possible amb els panellets de què disposen tenint en compte que, com a mínim, han de
preparar 9 capsetes de cada tipus.
a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible.
[1,25 punts]
5
b) Determineu quantes capsetes cal preparar de cada tipus per a fer el màxim nombre
d’obsequis possible. Indiqueu si, en aquest cas, s’utilitzaran tots els panellets disponi-
bles i, si no és així, quants en sobraran de cada tipus.
[1,25 punts]

3. En una festa familiar s’han reunit 20 persones. Si comptem el total d’homes i dones junts,
observem que n’hi ha el triple que de nens. A més, sabem que, si hi hagués assistit una
dona més, el nombre de dones hauria estat igual que el nombre d’homes.
a) Plantegeu un sistema d’equacions per a esbrinar quants homes, quantes dones i
quants nens van assistir a la festa.
[0,75 punts]
7
b) Resoleu el sistema de l’apartat anterior i interpreteu-ne el resultat.
[1,75 punts]

4. Un granger vol construir un corral rectangular per als seus conills. Sabem que només
disposa de 40 m lineals de tanca metàŀlica.
a) Anomenem x l’amplària del corral i y la seva llargària. Escriviu la funció que permet
calcular l’àrea del corral tenint en compte només l’amplària x.
[1,25 punts]
9
b) Calculeu en quin punt assoleix el seu màxim la funció que heu trobat a l’apartat ante-
rior. Deduïu quina ha de ser l’amplària x i quina la llargària y perquè el corral tingui
l’àrea màxima. Quina serà aquesta àrea màxima?
[1,25 punts]

5. Considereu la matriu
.
a) Trobeu l’expressió general de An. Demostreu que la inversa de An és
.
[1,25 punts]
11
b) Trobeu la matriu X que satisfà l’equació matricial A10 · X – A20 = A.
[1,25 punts]

6. Considereu la funció real de variable real f(x) = 4x3 + ax2 – 2.
a) Determineu el valor del paràmetre real a per tal que la funció tingui un extrem relatiu
en el punt d’abscissa x = –1.
[1,25 punts]
13
b) Calculeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) quan a = 12.
Indiqueu també els punts en què hi ha extrems relatius i classifiqueu-los.
[1,25 punts]