1. Una fàbrica estima que el benefici mensual, en milers d’euros, per cada tona de confeti
venuda és donat per la funció
, en què x representa el nombre de
tones de confeti venudes.
a) Determineu en quin interval de valors s’ha de trobar la variable x perquè la fàbrica no
tingui pèrdues.
[1,25 punts]
3
b) Calculeu la quantitat de tones de confeti que proporciona el benefici màxim i digueu
quin és aquest benefici.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 1
a
b
Total
4

2. En una pastisseria volen preparar capsetes de panellets per a obsequiar els millors clients
durant la setmana de la Castanyada. En total, disposen de 120 panellets de pinyons i de
150 panellets de coco. Volen preparar capsetes de dos tipus: les del primer tipus contin-
dran 3 panellets de pinyons i 2 de coco, i les del segon tipus contindran 4 panellets de
pinyons i 6 de coco. La idea de la pastisseria és preparar el nombre màxim de capsetes
possible amb els panellets de què disposen tenint en compte que, com a mínim, han de
preparar 9 capsetes de cada tipus.
a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible.
[1,25 punts]
5
b) Determineu quantes capsetes cal preparar de cada tipus per a fer el màxim nombre
d’obsequis possible. Indiqueu si, en aquest cas, s’utilitzaran tots els panellets disponi-
bles i, si no és així, quants en sobraran de cada tipus.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 2
a
b
Total
6

3. En una festa familiar s’han reunit 20 persones. Si comptem el total d’homes i dones junts,
observem que n’hi ha el triple que de nens. A més, sabem que, si hi hagués assistit una
dona més, el nombre de dones hauria estat igual que el nombre d’homes.
a) Plantegeu un sistema d’equacions per a esbrinar quants homes, quantes dones i
quants nens van assistir a la festa.
[0,75 punts]
7
b) Resoleu el sistema de l’apartat anterior i interpreteu-ne el resultat.
[1,75 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 3
a
b
Total
8

4. Un granger vol construir un corral rectangular per als seus conills. Sabem que només
disposa de 40 m lineals de tanca metàŀlica.
a) Anomenem x l’amplària del corral i y la seva llargària. Escriviu la funció que permet
calcular l’àrea del corral tenint en compte només l’amplària x.
[1,25 punts]
9
b) Calculeu en quin punt assoleix el seu màxim la funció que heu trobat a l’apartat ante-
rior. Deduïu quina ha de ser l’amplària x i quina la llargària y perquè el corral tingui
l’àrea màxima. Quina serà aquesta àrea màxima?
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 4
a
b
Total
10

5. Considereu la matriu
.
a) Trobeu l’expressió general de An. Demostreu que la inversa de An és
.
[1,25 punts]
11
b) Trobeu la matriu X que satisfà l’equació matricial A10 · X – A20 = A.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 5
a
b
Total
12

6. Considereu la funció real de variable real f(x) = 4x3 + ax2 – 2.
a) Determineu el valor del paràmetre real a per tal que la funció tingui un extrem relatiu
en el punt d’abscissa x = –1.
[1,25 punts]
13
b) Calculeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) quan a = 12.
Indiqueu també els punts en què hi ha extrems relatius i classifiqueu-los.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 6
a
b
Total
14
[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió.]
15
[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió.]
L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés
Etiqueta de l’alumne/a
Proves d’accés a la universitat
Matemàtiques aplicades a les ciències socials
Sèrie 5
Ubicació del tribunal ..............................................................................
Número del tribunal ................................................................................
Etiqueta de l’alumne/a
Etiqueta de qualificació
Etiqueta del corrector/a
Qualificació
TR
Qüestions
1
2
3
4
5
6
Suma de notes parcials
Qualificació final
2021
2
Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu
fer i per què.
Cada qüestió val 2,5 punts.
Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden
emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.
Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o
per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que
ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.
1. Considereu la funció
.
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a f(x) en el punt d’abscissa x = 0.
[1,25 punts]
3
b) Estudieu en quins intervals la funció f(x) és creixent i en quins és decreixent.
Indiqueu-ne també els extrems relatius i digueu si són màxims o mínims.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 1
a
b
Total
4
2. Per tal de vendre un excés de producció de 100 banyadors i 200 parells de xancletes,
una botiga de roba de platja prepara dues promocions: l’oferta blava i l’oferta groga.
L’oferta blava consisteix en un lot amb tres parells de xancletes i un banyador per 50 €,
i l’oferta groga, en un lot amb un parell de xancletes i dos banyadors per 30 €. Per a
complir els propòsits de la botiga, caldria que el nombre de lots venuts de l’oferta blava
fos la meitat o més que el nombre de lots venuts de l’oferta groga.
a) Determineu la funció objectiu i les restriccions, i dibuixeu la regió de les possibles
opcions de venda que té la botiga.
[1,25 punts]
5
b) Quants lots de cada tipus s’hauran de vendre per a optimitzar els ingressos? Quins
seran aquests ingressos?
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 2
a
b
Total
6
3. Una empresa de productes lactis va ingressar l’any passat un total d’1.800.000 € per les
vendes de formatges. Les exportacions a la Unió Europea van aportar tants ingressos com
les vendes en l’àmbit estatal i les exportacions a països extracomunitaris juntes. Aquest
any l’empresa ha ingressat 1.950.000 € i sabem que les vendes estatals han disminuït un
5 %, les exportacions a la Unió Europea han augmentat un 15 % i les exportacions a paï-
sos extracomunitaris han augmentat un 10 %. Determineu les quantitats que va ingressar
per cada concepte (vendes en l’àmbit estatal, exportacions a la Unió Europea i exportaci-
ons a països extracomunitaris) l’any passat, i també les quantitats que ha ingressat aquest
any.
[2,5 punts]
7
Espai per al corrector/a
Qüestió 3
Total
8
4. Suposeu que la temperatura de l’aigua del mar en una zona concreta és donada per
la funció
, en què x representa la fondària en metres negatius (per exem-
ple, f(–5) representa el valor de la temperatura de l’aigua en graus Celsius a 5 metres de
profunditat).
a) Quina és la temperatura de l’aigua a la superfície? A quines profunditats la tempera-
tura és de zero graus? Cap a quin valor tendeix la temperatura quan baixem a molta
profunditat?
[1,25 punts]
9
b) Calculeu a quina fondària la temperatura és més baixa i quin és el valor d’aquesta
temperatura mínima.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 4
a
b
Total
10
5. Fem dues proves de consum de combustible a un vehicle: en la primera, el vehicle recorre
200 km per carretera i 100 km per ciutat, i consumeix un total de 17 litres, mentre que
en la segona recorre 300 km per carretera i 50 km per ciutat, i consumeix 17,5 litres.
Suposant que els consums mitjans per carretera i per ciutat són sempre constants:
a) Quin és el consum mitjà per 100 km en cada una de les dues proves?
[1,25 punts]
11
b) Quants litres consumirà el mateix vehicle si en una tercera prova recorre 400 km per
carretera i 150 km per ciutat?
[1,25 punts]
Espai per al corr
[... texto truncado, ver PDF original]