1. A l’institut d’en Martí han elaborat tres tipus diferents de rams de roses per a vendre el
dia de Sant Jordi. L’opció clàssica consisteix en una rosa i una espiga. L’opció de ram petit
està formada per tres roses i dues espigues. I, finalment, l’opció de ram gran consisteix en
mitja dotzena de roses i tres espigues. Tots els rams (siguin de l’opció que siguin) porten
un bonic embolcall. Sabem que s’han utilitzat 200 roses, 135 espigues i 85 embolcalls.
a) Quants rams s’han elaborat de cada tipus?
[1,75 punts]
• 3 •
b) Si el preu de venda d’un ram de l’opció clàssica és de 3 euros, el d’un ram petit és de
5 euros i el d’un ram gran és de 10 euros, quants diners s’ingressaran si es venen tots?
[0,75 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 1
a
b
Total
• 4 •

2. Experimentalment s’ha comprovat que la producció d’un tipus de fruita determinat que
es cultiva en hivernacles depèn de la temperatura, segons la funció f(x) = –x2 + 46x – 360,
en què x representa la temperatura de l’hivernacle en graus Celsius i f(x) és la producció
anual en centenars de quilograms per hectàrea. El preu de venda de la fruita es manté
estable a 1,2 euros per cada quilogram.
a) Determineu l’interval de temperatures entre les quals cal mantenir l’hivernacle per-
què hi hagi producció de fruita. Calculeu els ingressos anuals per hectàrea si es manté
l’hivernacle a 20 °C de temperatura.
[1,25 punts]
• 5 •
b) A quina temperatura s’obté la producció màxima de fruita? Quins ingressos per hec-
tàrea s’obtenen en aquest cas?
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 2
a
b
Total
• 6 •

3. Una empresa es proposa de fer dos tipus de paneres de Nadal, A i B, per als treballadors i
les treballadores. Cada panera de tipus A contindrà 1 pernil, 1 ampolla de cava i 5 barres
de torró. D’altra banda, cada panera de tipus B contindrà 2 pernils, 3 ampolles de cava i
2 barres de torró. El cap de magatzem afirma que disposen de 40 pernils, 120 barres de
torró i moltes ampolles de cava, i que, per tant, de cava segur que no en faltarà. Es volen
fer tantes paneres com sigui possible.
a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. Quantes
paneres de cada tipus haurà de fer l’empresa?
[1,75 punts]
• 7 •
b) Un cop fet el càlcul, la cap de l’empresa s’ho repensa i diu que és millor fer la mateixa
quantitat de paneres de cada tipus. Amb aquesta nova condició, quantes paneres de
cada tipus s’hauran de fer?
[0,75 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 3
a
b
Total
• 8 •

4. Un grup de biòlegs està estudiant un cultiu de bacteris. La població d’aquests bacteris (en
centenars) és donada per la funció
, en què a i b són constants positives
reals i t ≥ 0 és el temps transcorregut en minuts.
  Sabem que a l’instant inicial de l’estudi la població de bacteris era de 6 centenars i que
el valor màxim de població s’ha assolit al cap de 2 minuts d’haver iniciat l’estudi.
a) Trobeu els valors de les constants a i b.
[1,25 punts]
• 9 •
b) Calculeu la població màxima de bacteris i estudieu-ne el comportament a llarg termi-
ni, és a dir, cap a quin valor s’estabilitza el nombre de bacteris.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 4
a
b
Total
• 10 •

5. Considereu les matrius
i
, en què a és un paràmetre real.
a) Trobeu per a quins valors de a és invertible la matriu obtinguda del resultat del pro-
ducte P · A.
[1,5 punts]
• 11 •
b) Si a = 2, trobeu la matriu X que satisfà l’equació matricial P · A + X = I, en què I denota
la matriu identitat d’ordre 2.
[1 punt]
Espai per al corrector/a
Qüestió 5
a
b
Total
• 12 •

6. En els models matemàtics que s’utilitzen per a descriure l’evolució d’una malaltia, s’ano-
mena R0 el nombre mitjà de noves infeccions que cada persona infectada provoca en la
població. Quan aquest nombre és inferior a 1, cada individu infectat transmet la malaltia,
de mitjana, a menys d’una persona i la malaltia tendeix a desaparèixer. En canvi, si R0 és
més gran que 1, la malaltia s’estén i es produeix una epidèmia.
  Quan es descobreix una vacuna efectiva contra la malaltia, es pot controlar l’epidèmia
vacunant només una proporció p de la població. És el que es coneix com a immunitat de
grup. Efectivament, un cop vacunada una proporció p ∈ (0, 1) de la població, la nova R0,
que s’anomena efectiva i es denota amb Re, és el producte de la R0 original per la propor-
ció d’individus que no estan vacunats, 1 – p. I s’aconsegueix controlar l’epidèmia si la Re
és inferior a 1.
a) En el cas del xarampió, s’estima que R0 = 15. Si analitzem una població amb un per-
centatge d’individus vacunats del 95 %, segons el model descrit, hi ha risc que es pro-
dueixi una epidèmia de xarampió en aquesta població?
[0,75 punts]
b) En el cas concret de l’anomenada grip espanyola del 1918, s’estima que R0 = 4. Calculeu
quin percentatge de població hauria calgut vacunar, com a mínim, per a aturar l’epi-
dèmia d’aquesta malaltia.
[0,75 punts]
• 13 •
c) Expresseu, en general, el llindar de població mínima que cal vacunar en funció del
valor R0 d’una malaltia. Feu un esbós d’aquesta funció per als valors de R0 entre 1 i 20.
[1 punt]
Espai per al corrector/a
Qüestió 6
a
b
c
Total
• 14 •
[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió.]
• 15 •
[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió.]
Etiqueta de l’alumne/a
L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés
2022
Proves d’accés a la universitat
Matemàtiques aplicades a les ciències socials
Sèrie 5
Qualificació
TR
Qüestions
1
2
3
4
5
6
Suma de notes parcials
Qualificació final
Etiqueta de l’alumne/a
Ubicació del tribunal ..............................................................................
Número del tribunal ................................................................................
Etiqueta de qualificació
Etiqueta del corrector/a
• 2 •
Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu
fer i per què.
Cada qüestió val 2,5 punts.
Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden
emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.
Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o
per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que
ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.
1. El valor d’un producte electrònic, en funció del nombre de mesos que fa que està a la
venda, t, és donat per la funció f (t) = –(t + 25)(t – 75).
a) Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f (t). En quin moment
el producte assolirà el valor màxim? Quin és aquest valor màxim?
[1,25 punts]
• 3 •
b) Sabem que el producte es deixarà de comercialitzar quan arribi a un valor de 475 €.
En quin moment es deixarà de comercialitzar?
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 1
a
b
Total
• 4 •
2. Una capsa conté 40 monedes, que són de 50 cèntims, d’1 € i de 2 €. Sabem que el nombre
de monedes de 50 cèntims que hi ha és el doble que el de monedes de 2 €.
a) Podem saber el nombre de monedes que hi ha de cada tipus? En cas afirmatiu, cal-
culeu-lo. En cas negatiu, doneu la solució en funció d’un paràmetre.
[1,25 punts]
• 5 •
b) Esbrineu si es pot calcular el valor total, en euros, de les monedes de la capsa. En cas
afirmatiu, calculeu-lo.
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 2
a
b
Total
• 6 •
3. Calculeu la matriu X que verifica A · X · B = C, sabent que
,
,
i
.
[2,5 punts]
• 7 •
Espai per al corrector/a
Qüestió 3
Total
• 8 •
4. Un hotel admet reserves per a les 420 habitacions dobles de què disposa i ofereix dues
tarifes diferents: la tarifa estàndard (sense despeses de canceŀlació) és de 120 € per nit, i
la tarifa reduïda (que no admet canceŀlacions) és de 90 € per nit. Els interessa tenir reser-
vat almenys un 20 % del total d’habitacions amb la tarifa reduïda i volen que el nombre
d’habitacions reservades amb la tarifa estàndard sigui igual o superior que el doble del
nombre d’habitacions reservades amb la tarifa reduïda.
a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible.
[1,25 punts]
• 9 •
b) Determineu quantes habitacions han de tenir reservades amb cada tarifa per a obtenir
el benefici màxim. Quin és aquest benefici màxim?
[1,25 punts]
Espai per al corrector/a
Qüestió 4
a
b
Total
• 10 •
5.
[... texto truncado, ver PDF original]