1. A l’institut d’en Martí han elaborat tres tipus diferents de rams de roses per a vendre el
dia de Sant Jordi. L’opció clàssica consisteix en una rosa i una espiga. L’opció de ram petit
està formada per tres roses i dues espigues. I, finalment, l’opció de ram gran consisteix en
mitja dotzena de roses i tres espigues. Tots els rams (siguin de l’opció que siguin) porten
un bonic embolcall. Sabem que s’han utilitzat 200 roses, 135 espigues i 85 embolcalls.
a) Quants rams s’han elaborat de cada tipus?
[1,75 punts]
• 3 •
b) Si el preu de venda d’un ram de l’opció clàssica és de 3 euros, el d’un ram petit és de
5 euros i el d’un ram gran és de 10 euros, quants diners s’ingressaran si es venen tots?
[0,75 punts]

2. Experimentalment s’ha comprovat que la producció d’un tipus de fruita determinat que
es cultiva en hivernacles depèn de la temperatura, segons la funció f(x) = –x2 + 46x – 360,
en què x representa la temperatura de l’hivernacle en graus Celsius i f(x) és la producció
anual en centenars de quilograms per hectàrea. El preu de venda de la fruita es manté
estable a 1,2 euros per cada quilogram.
a) Determineu l’interval de temperatures entre les quals cal mantenir l’hivernacle per-
què hi hagi producció de fruita. Calculeu els ingressos anuals per hectàrea si es manté
l’hivernacle a 20 °C de temperatura.
[1,25 punts]
• 5 •
b) A quina temperatura s’obté la producció màxima de fruita? Quins ingressos per hec-
tàrea s’obtenen en aquest cas?
[1,25 punts]

3. Una empresa es proposa de fer dos tipus de paneres de Nadal, A i B, per als treballadors i
les treballadores. Cada panera de tipus A contindrà 1 pernil, 1 ampolla de cava i 5 barres
de torró. D’altra banda, cada panera de tipus B contindrà 2 pernils, 3 ampolles de cava i
2 barres de torró. El cap de magatzem afirma que disposen de 40 pernils, 120 barres de
torró i moltes ampolles de cava, i que, per tant, de cava segur que no en faltarà. Es volen
fer tantes paneres com sigui possible.
a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. Quantes
paneres de cada tipus haurà de fer l’empresa?
[1,75 punts]
• 7 •
b) Un cop fet el càlcul, la cap de l’empresa s’ho repensa i diu que és millor fer la mateixa
quantitat de paneres de cada tipus. Amb aquesta nova condició, quantes paneres de
cada tipus s’hauran de fer?
[0,75 punts]

4. Un grup de biòlegs està estudiant un cultiu de bacteris. La població d’aquests bacteris (en
centenars) és donada per la funció
, en què a i b són constants positives
reals i t ≥ 0 és el temps transcorregut en minuts.
  Sabem que a l’instant inicial de l’estudi la població de bacteris era de 6 centenars i que
el valor màxim de població s’ha assolit al cap de 2 minuts d’haver iniciat l’estudi.
a) Trobeu els valors de les constants a i b.
[1,25 punts]
• 9 •
b) Calculeu la població màxima de bacteris i estudieu-ne el comportament a llarg termi-
ni, és a dir, cap a quin valor s’estabilitza el nombre de bacteris.
[1,25 punts]

5. Considereu les matrius
i
, en què a és un paràmetre real.
a) Trobeu per a quins valors de a és invertible la matriu obtinguda del resultat del pro-
ducte P · A.
[1,5 punts]
• 11 •
b) Si a = 2, trobeu la matriu X que satisfà l’equació matricial P · A + X = I, en què I denota
la matriu identitat d’ordre 2.
[1 punt]

6. En els models matemàtics que s’utilitzen per a descriure l’evolució d’una malaltia, s’ano-
mena R0 el nombre mitjà de noves infeccions que cada persona infectada provoca en la
població. Quan aquest nombre és inferior a 1, cada individu infectat transmet la malaltia,
de mitjana, a menys d’una persona i la malaltia tendeix a desaparèixer. En canvi, si R0 és
més gran que 1, la malaltia s’estén i es produeix una epidèmia.
  Quan es descobreix una vacuna efectiva contra la malaltia, es pot controlar l’epidèmia
vacunant només una proporció p de la població. És el que es coneix com a immunitat de
grup. Efectivament, un cop vacunada una proporció p ∈ (0, 1) de la població, la nova R0,
que s’anomena efectiva i es denota amb Re, és el producte de la R0 original per la propor-
ció d’individus que no estan vacunats, 1 – p. I s’aconsegueix controlar l’epidèmia si la Re
és inferior a 1.
a) En el cas del xarampió, s’estima que R0 = 15. Si analitzem una població amb un per-
centatge d’individus vacunats del 95 %, segons el model descrit, hi ha risc que es pro-
dueixi una epidèmia de xarampió en aquesta població?
[0,75 punts]
b) En el cas concret de l’anomenada grip espanyola del 1.918, s’estima que R0 = 4. Calculeu
quin percentatge de població hauria calgut vacunar, com a mínim, per a aturar l’epi-
dèmia d’aquesta malaltia.
[0,75 punts]
• 13 •
c) Expresseu, en general, el llindar de població mínima que cal vacunar en funció del
valor R0 d’una malaltia. Feu un esbós d’aquesta funció per als valors de R0 entre 1 i 20.
[1 punt]