Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Ordinaria 2026

Un médico empieza a hacer divulgación sobre salud en las redes sociales. A medida que publica contenidos relacionados con este tema, observa un aumento en su número de seguidores. En un momento determinado graba un vídeo polémico y pierde un pequeño número de seguidores, pero al cabo de unos días publica otro que tiene mucho éxito y, a partir de entonces, su número de seguidores vuelve a crecer. La función que describe su número de seguidores en función del tiempo $t$, medido en semanas, es $f(t)=10t^3-120t^2+450t+700,\quad t\in[0,10]$.

Un campesino produce diferentes tipos de frutas: fresas, albaricoques y cerezas, que se venden en cajas a precios diferentes. Se sabe que un pedido de 5 cajas de fresas, 3 de albaricoques y 4 de cerezas tiene un coste total de 120 €. Por otro lado, un pedido de 2 cajas de fresas, 1 de albaricoques y 3 de cerezas tiene un coste total de 56 €.

Una empresa de telecomunicaciones considera que una página web es eficiente si su tiempo de carga es inferior a 3 segundos. La empresa afirma que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes. Para comprobar esta afirmación, se selecciona una muestra aleatoria de $n=2.500$ páginas web gestionadas por esta empresa.

FÓRMULAS PARA RESOLVER EL EJERCICIO:

• $Z\sim\text{normal}\,(0,1)\to P(-1{,}96\le Z\le1{,}96)=0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le2{,}58)=0{,}99$.
• Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$:
  — para la proporción (muestras grandes): $$\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right];$$
  — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $$\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n},\bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n}\right];$$
  — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $$\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt n},\bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt n}\right].$$

La siguiente tabla recoge el número de estudiantes de grado (G), máster (M) y doctorado (D) matriculados en las tres facultades —Ciencias (C), Ingeniería (I) y Letras (L)— de una pequeña universidad.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.
OPCIÓN A
4.1. Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de doctorado de la Facultad de Letras? Si se escoge al azar un estudiante que cursa un máster, ¿cuál es la probabilidad de que estudie en la Facultad de Ingeniería? [1,25 puntos]
4.2. Exprese la información de la tabla (sin los totales) mediante una matriz $3\times3$ y calcule, utilizando un producto de matrices, el vector con el número total de estudiantes de grado, máster y doctorado de la universidad. Se sabe que los estudiantes de grado pagan 1.000 € de matrícula; los de máster, 1.500 €, y los de doctorado, 500 €. Mediante un producto de matrices, calcule el importe total que ingresa la universidad en concepto de matrículas. [1,25 puntos]
OPCIÓN B
4.1. Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de máster de la Facultad de Ciencias? Si se escoge al azar un estudiante de la Facultad de Ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que curse un máster? [1,25 puntos]
4.2. Se sabe que, en total, hay 1.036 estudiantes que disfrutan de una beca. También se sabe que, si se consideran conjuntamente los estudiantes de grado y máster, la mitad están becados, y que hay el mismo número de estudiantes becados de máster que de doctorado. Determine cuántos estudiantes becados hay de cada nivel educativo (grado, máster y doctorado). [1,25 puntos]