Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

Qüestió 1. (2,5 punts en total)

a) Comproveu que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola en el punt d'abscissa $x = a$ és $y = -2ax + a^2 + 4$ i calculeu els punts de tall d'aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades. [1,25 punts]

b) Calculeu el valor de $a > 0$ perquè l'àrea del triangle determinat per aquesta recta tangent i els eixos de coordenades sigui mínima. [1,25 punts]

Qüestió 2. (2,5 punts en total)

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $p$. [1,5 punts]

b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $p = 2$. [1 punt]

Qüestió 3. (2,5 punts en total)

a) Trobeu les coordenades del punt $P'$ simètric a $P$ respecte al pla $\pi$. [1,25 punts]

b) De tots els plans que contenen la recta $r$, trobeu l'equació cartesiana del que és perpendicular al pla $\pi$. [1,25 punts]

Qüestió 4. (2,5 punts en total)

a) Trobeu les coordenades d'un punt de la corba $y = f(x)$ en el qual la recta tangent a la corba sigui horitzontal i analitzeu si la funció té un extrem relatiu en aquest punt. [1 punt]

b) Determineu si la funció $f(x)$ té alguna asímptota horitzontal. [0,5 punts]

c) Calculeu l'àrea de la regió delimitada per la corba $y = f(x)$ i les rectes $x = 1$ i $x = e$. Feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció en el domini $0 < x < 5$, en què quedi representada l'àrea que heu calculat. [1 punt]

Qüestió 5. (2,5 punts en total)

a) Donada la matriu $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$, resoleu l'equació matricial $A^2 X = A - 3I$, en què $I$ és la matriu identitat. [1,25 punts]

b) Una matriu quadrada $M$ satisfà que $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$, en què $I$ és la matriu identitat. Justifiqueu que $M$ és invertible i expresseu la inversa de $M$ en funció de les matrius $M$ i $I$. [1,25 punts]

Qüestió 6. (2,5 punts en total)

a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. [1,25 punts]

b) Demostreu que l'equació $f(x) = 0$ té exactament dues solucions entre $x = -1$ i $x = 3$. [1,25 punts]