Consideramos la parábola $y = x - x^2$ con $a$ real y $a > 0$.

a) Comprobad que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa $x = a$ es $y = -2ax + a^2 + 8$ y calculad los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas. [1,25 puntos]

b) Calculad el valor de $a > 0$ para que el área del triángulo determinado por esta recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínima. [1,25 puntos]

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $p$:

$$\begin{cases} px + y + z = 2 \\ 2x + py + p^2 z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$

a) Discutid el sistema para los diferentes valores del parámetro $p$. [1,5 puntos]

b) Resolved, si es posible, el sistema para el caso $p = 2$. [1 punto]

Consideramos el punto $P = (-1, 3, 1)$, el plano $\pi: x = y$ y la recta $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = z - 2$.

a) Encontrad las coordenadas del punto $P'$ simétrico a $P$ respecto del plano $\pi$. [1,25 puntos]

b) De todos los planos que contienen la recta $r$, encontrad la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano $\pi$. [1,25 puntos]

Sea la función $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$ definida en el dominio $x > 0$, donde ln es el logaritmo neperiano.

a) Encontrad las coordenadas del punto de la curva $y = f(x)$ en el cual la recta tangente a la curva sea horizontal y analizad si la función tiene un extremo relativo en este punto. [1 punto]

b) Determinad si la función $f(x)$ tiene alguna asíntota horizontal. [0,5 puntos]

c) Calculad el área de la región delimitada por la curva $y = f(x)$ y las rectas $x = 1$ y $x = e$. Haced un dibujo aproximado de la gráfica de la función en el dominio $0 < x < 5$, en el que quede representada el área que habéis calculado. [1 punto]

a) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, resolved la ecuación matricial $A^2 X = A - 3I$, donde $I$ es la matriz identidad. [1,25 puntos]

b) Una matriz cuadrada $M$ satisface que $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$, donde $I$ es la matriz identidad. Justificad que $M$ es invertible y expresad la inversa de $M$ en función de las matrices $M$ e $I$. [1,25 puntos]

Consideramos la función $f(x) = e^{x-1} - x - 1$.

a) Estudiad la continuidad, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

b) Demostrad que la ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones entre $x = -1$ y $x = 3$. [1,25 puntos]