Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

Qüestió 1. (2,5 punts en total)

a) Si sabem que $f(x)$ talla l'eix de les abscisses en $x = 1$, calculeu l'expressió de la funció $f(x)$. [0,75 punts]

b) Calculeu l'abscissa del punt d'inflexió de $f(x)$ i estudieu la concavitat de la funció. [0,75 punts]

c) Sabem que l'àrea del recinte limitat per la corba $y = f''(x)$, l'eix de les abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = a$, amb $a > 2$, és $15\,u^2$. Calculeu el valor de $a$. [1 punt]

Qüestió 2. (2,5 punts en total)

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $a$. [1,5 punts]

b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $a = 2$. [1 punt]

Qüestió 3. (2,5 punts en total)

a) Determineu la posició relativa de la recta $r$ respecte al pla $\pi:\; x - 2y + 4z - 4 = 0$. Si és paraŀlela, calculeu la distància de $r$ a $\pi$, i si és secant, calculeu el punt de tall. [1,25 punts]

b) Calculeu l'equació de la recta $s$ perpendicular al pla $\pi$ i que talla la recta $r$ en un punt $P$, la primera coordenada del qual és 5 vegades més gran que la segona. [1,25 punts]

Qüestió 4. (2,5 punts en total)

a) Trobeu una funció polinòmica $y = g(x)$ de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt $(0, 5)$, que la recta tangent a $y = g(x)$ en el punt d'abscissa $x = 1$ sigui horitzontal i que $g''(x) = 2x + 1$. [1 punt]

b) Comproveu que la funció $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 16$ té una arrel a $x = 2$ i que és estrictament creixent a l'interval $(0, 4)$. Utilitzeu aquesta informació per a calcular l'àrea determinada per la funció $f(x)$, l'eix de les abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = 4$. [1,5 punts]

Qüestió 5. (2,5 punts en total)

a) Calculeu les matrius $X$ tals que $$X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$. [1,5 punts]

b) Determineu els valors de $a$, $b$ i $c$ perquè la matriu inversa de $X$ sigui $$X^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$. [1 punt]

Qüestió 6. (2,5 punts en total)

a) Justifiqueu que se satisfan les relacions següents: $h = \dfrac{20}{x}$ i $D(x) = \sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}$. [1 punt]

b) Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat $D$ és mínima. [1,5 punts]