Sigui f'(x) = 3x^2 - 12x la derivada d'una funcio f(x).
a) Sabent que f(x) talla l'eix de les abscisses en x = 1, calculeu l'expressio de la funcio f(x). [0,5 punts]
b) Calculeu l'abscissa del punt d'inflexio de f(x) i estudieu la concavitat de la funcio. [0,5 punts]
c) Sabem que l'area del recinte limitat per la corba y = f''(x), l'eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = a, amb a > 2, es 15u^2. Calculeu el valor de a. [1 punt]

Considereu el sistema d'equacions lineals seguent, que depen del parametre real a:
ax + 2y + 3z = 2
2x + ay + z = a
x + y + 4z = 1
a) Discutiu el sistema per als diferents valors del parametre a. [1,5 punts]
b) Resoleu, si es possible, el sistema per al cas a = 2. [1 punt]

Sigui la recta r definida per l'expressio seguent:
r: x = 2 + λ, y = -1 + 3λ, z = 3 + λ
a) Determineu la posicio relativa de la recta r respecte al pla π: x - 2y + 4z - 4 = 0. Si es paral-lela, calculeu la distancia de r a π, i si es secant, calculeu el punt de tall. [1,25 punts]
b) Calculeu l'equacio de la recta s perpendicular al pla π i que talla la recta r en un punt P, la primera coordenada del qual es 5 vegades mes gran que la segona. [1,25 punts]

a) Trobeu una funcio polinomica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d'abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g''(x) = 2x + 1. [1 punt]
b) Comproveu que la funcio f(x) = -x^3 + 6x^2 - 16 te una arrel a x = 2 i que es estrictament creixent a l'interval (0, 4). Utilitzeu aquesta informacio per a calcular l'area determinada per la funcio f(x), l'eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 4. [1,5 punts]

Sigui la matriu X = ((a, 1, 0), (0, b, 1), (0, 0, c)), que depen dels parametres a, b i c.
a) Calculeu les matrius X tals que X^2 = ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). [1,5 punts]
b) Determineu els valors de a, b i c perque la matriu inversa de X sigui X^(-1) = ((1/2, -1/2, -1/2), (0, 1, 1), (0, 0, -1)). [1 punt]

Al pati d'una escola es vol crear una area de joc de 30 m^2 per als mes petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base mes gran mesuri el doble que la base mes petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases (D) sigui tan curt com sigui possible.
[Image/graphic in original PDF: trapezi rectangular amb base petita x, base gran 2x, altura h i costat oblic D]
a) Justifiqueu que se satisfan les relacions seguents: h = 20/x i D(x) = sqrt(400/x^2 + x^2). [1 punt]
b) Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat D es minima. [1,5 punts]