Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

1. Sean
,
y la matriz identidad de orden dos
.
a) Compruebe que (A – 2I)2 = 3I.
[0,5 puntos]
b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre la matriz inversa de la matriz
A en función de las matrices A e I, y compruebe que coincide con la matriz B.
[1,25 puntos]
3
c) Calcule la matriz X que satisface la igualdad A $\cdot$ X = B.
[0,75 puntos]

2. Sea la función
.
a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abs-
cisa x = 2.
[0,75 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abs-
cisa x = k, donde k es un número real positivo.
[0,75 puntos]
5
c) Compruebe que, tal como puede verse en la figura de abajo, la recta del apartado b
determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas.
Calcule esta área.
[1 punto]

3. Sea el sistema de ecuaciones lineales
, donde m es un número real.
a) Discuta el sistema según los valores del parámetro m.
[1,25 puntos]
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b) Resuelva el sistema, si tiene solución, para el caso m = 1.
[1,25 puntos]

4. Sea la función $f(x)$ definida por $f(x)$ = –3x + e2x3–1.
a) Justifique que $f(x)$ = 2 tiene una solución en el intervalo (–1, 0).
[1,25 puntos]
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b) Sea la función $h(x)$ = –3x2 + e2x3–1. Calcule el área de la región comprendida entre las
gráficas de las funciones $f(x)$ y $h(x)$.
[1,25 puntos]

5. Sean r1 y r2 las rectas definidas por r1: x – 1 = y = –z y por r2: x= y = z, respectivamente.
a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas r1
y r2.
[1,75 puntos]
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b) Calcule la distancia entre r1 y r2.
[0,75 puntos]

6. Se quiere construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la
base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden
10 mm, tal como puede observar en la siguiente figura:
a) Exprese la altura del trapecio en función de la longitud x de la base inferior.
[0,5 puntos]
b) Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de manera que el área de la pieza
sea máxima y encuentre el valor de esta área máxima.
[2 puntos]
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