1. Calcule los coeficientes a, b, c y d de la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d si se sabe que la
ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de inflexión (1, 0) es
y = –3x + 3 y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa
x = 0.
[2,5 puntos]
3
Espai per al corrector/a
Qüestió 1
4

2. Considere las dos matrices siguientes:
a) Calcule las matrices A · B y B · A.
[1,5 puntos]
5
b) Sean C y D dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfacen C · D = C y
D · C = D. Compruebe que las dos matrices, C y D, son idempotentes.
[1 punto]
Nota: Una matriz cuadrada se llama idempotente si coincide con su cuadrado.
Espai per al corrector/a
Qüestió 2
a
b
Total
6

3. Sea
la función derivada de una función derivable f(x) que pasa
por el punto A = (0, 3).
a) Calcule la función f(x).
[1,5 puntos]
7
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función f′(x) en el punto de abscisa x = 3.
[1 punto]
Espai per al corrector/a
Qüestió 3
a
b
Total
8

4. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que depende del parámetro real λ:
a) Discuta el sistema para los distintos valores del parámetro λ.
[1,25 puntos]
9
b) Para el caso λ = –1, resuelva el sistema, interprételo geométricamente e identifique su
solución.
[1,25 puntos]
Espai per al corrector/a
Qüestió 4
a
b
Total
10

5. Núria tiene un jardín rectangular y quiere poner
un cerco (rectangular o cuadrado) de 8 m2 para su
perro. Piensa colocar el cerco pegado al muro del
jardín, tal como se muestra en la figura de la dere-
cha, para así ahorrarse uno de los cuatro lados.
El precio de la valla que quiere usar es de 2,5 €/m.
a) ¿Qué dimensiones debe tener el cerco para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es este
coste mínimo?
[1,75 puntos]
11
b) Si mantiene la forma rectangular o cuadrada del cerco y hace que uno de los vértices
del jardín coincida con un vértice del cerco, ¿cuántos euros puede ahorrarse? Razone
cómo pondría el cerco y justifique con cálculos matemáticos las dimensiones de su
propuesta.
[0,75 puntos]
Espai per al corrector/a
Qüestió 5
a
b
Total
12

6. Sean los planos π1 y π2, determinados respectivamente por las ecuaciones π1: x + y = 3 y
π2: x – z = –2.
a) Encuentre la ecuación general (Ax + By + Cz + D = 0) del plano π3, que es perpendicu-
lar a π1 y π2, y que pasa por el punto P = (4, 1, 2).
[0,75 puntos]
b) Sea r la recta de intersección de π1 y π2. Calcule la ecuación vectorial de la recta r.
[0,75 puntos]
13
c) Calcule el punto Q de la recta r que está más cerca del punto P.
[1 punto]
Espai per al corrector/a
Qüestió 6
a
b
c
Total
14
[Página para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión.]
15
[Página para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión.]
L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés
Etiqueta de l’alumne/a
Proves d’accés a la universitat
Matemáticas
Serie 5
Ubicació del tribunal ..............................................................................
Número del tribunal ...............................................................................
Etiqueta de l’alumne/a
Etiqueta de qualificació
Etiqueta del corrector/a
Qualificació
TR
Qüestions
1
2
3
4
5
6
Suma de notes parcials
Qualificació final
2023
2
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué
quiere hacer y por qué.
Cada cuestión vale 2,5 puntos.
Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que
pueden almacenar datos o que pueden transmitir o recibir información.
Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc.,
o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, debe
indicarlo claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.
1. Considere las funciones f(x) = –$x^2$ + x + 6 y g(x) = –9x + 3x2.
a) Calcule el área de la región delimitada por las dos funciones.
[1,25 puntos]
3
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la función f(x) en el punto (–2, 0).
Represente esta recta tangente y las funciones f(x) y g(x) en unos mismos ejes de
coordenadas.
[1,25 puntos]
Espai per al corrector/a
Qüestió 1
a
b
Total
4
2. Considere el sistema de ecuaciones lineales
donde k es un parámetro real.
a) Discuta el sistema en función del valor de k.
[1,5 puntos]
5
b) Resuelva el sistema para k = 0 y para k = 1.
[1 punto]
Espai per al corrector/a
Qüestió 2
a
b
Total
6
3. Considere las rectas en el espacio r : x = –y = z + m y
, donde m es un parámetro
real.
a) Estudie la posición relativa para los distintos valores del parámetro m.
[1,25 puntos]
7
b) Calcule m para que la distancia entre las rectas r y s sea de
unidades.
[1,25 puntos]
Espai per al corrector/a
Qüestió 3
a
b
Total
8
4. En una carretera principal se encuentra el pueblo A. A 12 km del pueblo A, hay un
cruce O con una carretera secundaria que corta perpendicularmente la carretera prin-
cipal. A 9 km del cruce, en la carretera secundaria, se encuentra el pueblo B. Se quiere
construir una torre de comunicaciones T en un punto de la carretera principal situado
entre el pueblo A y el cruce O. Esta torre debe estar conectada con cada uno de los dos
pueblos en línea recta por cable. Se sabe que instalar el cable entre la torre T y el pue-
blo B tiene un precio de 250 €/km y, en cambio, instalar el cable entre la torre T y el
pueblo A tiene un precio de 125 €/km. Determine a qué distancia del cruce O en la
carretera principal hay que situar la torre T para que el precio del cableado sea mínimo
y cuál será el valor de este precio mínimo.
[2,5 puntos]
9
Espai per al corrector/a
Qüestió 4
10
5. Considere la familia S de matrices de la forma
, donde a, b ∈ ℝ.
a) Calcule
.
[1,25 puntos]
11
b) Encuentre todas las matrices de la familia S, es decir, de la forma
, que
verifiquen la igualdad A2 = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
[1,25 puntos]
Espai per al corrector/a
Qüestió 5
a
b
Total
12
6. Sea la función
.
a) Calcule los valores de los parámetros a y b si se sabe que la gráfica de la función f tiene
un extremo relativo en x = –1 y pasa por el punto
.
[1,25 puntos]
13
b) Para el caso a = b, calcule y clasifique los extremos relativos de la función.
[1,25 puntos]
Espai per al corrector/a
Qüestió 6
a
b
Total
14
[Página para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión.]
15
[Página para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión.]
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