Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2023

1. Calcule los coeficientes a, b, c y d de la función $f(x)$ = ax3 + bx2 + cx + d si se sabe que la
ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de inflexión (1, 0) es
y = –3x + 3 y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa
x = 0.
[2,5 puntos]
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2. Considere las dos matrices siguientes:
a) Calcule las matrices A $\cdot$ B y B $\cdot$ A.
[1,5 puntos]
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b) Sean C y D dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfacen C $\cdot$ D = C y
D $\cdot$ C = D. Compruebe que las dos matrices, C y D, son idempotentes.
[1 punto]
Nota: Una matriz cuadrada se llama idempotente si coincide con su cuadrado.

3. Sea
la función derivada de una función derivable $f(x)$ que pasa
por el punto A = (0, 3).
a) Calcule la función $f(x)$.
[1,5 puntos]
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b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función f′(x) en el punto de abscisa x = 3.
[1 punto]

4. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que depende del parámetro real $\lambda$:
a) Discuta el sistema para los distintos valores del parámetro $\lambda$.
[1,25 puntos]
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b) Para el caso $\lambda$ = –1, resuelva el sistema, interprételo geométricamente e identifique su
solución.
[1,25 puntos]

5. Núria tiene un jardín rectangular y quiere poner
un cerco (rectangular o cuadrado) de 8 m2 para su
perro. Piensa colocar el cerco pegado al muro del
jardín, tal como se muestra en la figura de la dere-
cha, para así ahorrarse uno de los cuatro lados.
El precio de la valla que quiere usar es de 2,5 €/m.
a) ¿Qué dimensiones debe tener el cerco para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es este
coste mínimo?
[1,75 puntos]
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b) Si mantiene la forma rectangular o cuadrada del cerco y hace que uno de los vértices
del jardín coincida con un vértice del cerco, ¿cuántos euros puede ahorrarse? Razone
cómo pondría el cerco y justifique con cálculos matemáticos las dimensiones de su
propuesta.
[0,75 puntos]

6. Sean los planos $\pi$1 y $\pi$2, determinados respectivamente por las ecuaciones $\pi$1: x + y = 3 y
$\pi$2: x – z = –2.
a) Encuentre la ecuación general (Ax + By + Cz + D = 0) del plano $\pi$3, que es perpendicu-
lar a $\pi$1 y $\pi$2, y que pasa por el punto P = (4, 1, 2).
[0,75 puntos]
b) Sea r la recta de intersección de $\pi$1 y $\pi$2. Calcule la ecuación vectorial de la recta r.
[0,75 puntos]
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c) Calcule el punto Q de la recta r que está más cerca del punto P.
[1 punto]